* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

312 отсюда ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ и следовательно (вспомним, что k ~ a=g-\V = n 1 Р), k [k*~* (g + p)] = - *> \#****\ = [k*(g + р)] \k^%\ — = &g + [кЩ — k*g—k 1 — f t < 1) =k 1. Так как при этом п сколь угодно велико, то тем самым дока­ зано, что среди цифр a действительно найдётся сколь угодно много таких, которые меньше k—1- Этим доказательство теоремы 3 завершено. Мы видим, таким образом, что систематические дроби при лю­ бой системе счисления могут служить формальным аппаратом пред­ ставления действительных чисел, удовлетворяющим основному тре­ бованию возможности и единственности представления для любого действительного числа. Теперь мы должны обратиться к предло­ жениям, устанавливающим связь между арифметической природой представляемого числа и особенностями представляющей его дроби. Т е о р е м а 4. Всякая периодическая k-ичная дробь представ­ ляет некоторое рациональное число а. Д о к а з а т е л ь с т в о . Дробь (1) называется периодической, если можно указать такие числа г^0 и s ^ 1, что а = а ^ для всех п^>г. Поэтому число а, представляемое такой дробью, может быть запи­ сано в виде t п п а f=I г i=l f=I s откуда и видно, что а есть рациональное число. Теорема 4 таким образом доказана. П р и м е ч а н и е . Периодическая дробь (1) называется чисто периодической, если г = 0 , и смешанно-периодической, если г ^ > 0 . В случае чисто периодической дроби, т. е. при г = 0, последнее равенство даёт для а простое выражение — ft —i 5 так как число получаем A?— 1, очевидно, взаимно просто с k, то мы