* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ n n 311 Но k s есть целое число; поэтому последние неравенства показы­ вают, что но при Л ^5 1 и следовательно, чем теорема 2 полностью доказана. Т е о р е м а 3. Любое действительное число а отрезка О ^ о < ^ 1 представляется одной и только одной k-ичной дробью. Д о к а з а т е л ь с т в о . Единственность представления является не­ посредственным следствием теоремы 2, в силу которой цифры а представляющей дроби однозначно выражаются через представля­ емое число а согласно формулам (2). Что касается возможности представления, то для сё доказательства достаточно опять-таки в силу теоремы 2 показать, что числа а , определяемые по фор­ мулам (2), при любом а могут служить цифрами некоторой А-ичной дроби; а для этого, очевидно, нужно, чтобы для всех п ^ 1 п п Ов£а <А л и чтобы все а , начиная с некоторого, не оказались равными k — 1. п ПуСТЬ ДЛЯ П n 1 [k -*a)=g, тогда k ~*a=g + $ n (0^р<1)5 + [kS] [k»a] = [kg + m=kg k[k ~ a]=kg так что n t 9 а = [А а]-А[А - а]=[АР]; л я п , а так как 0 ^ р < ^ 1 , т о Далее, в силу тех же неравенств 0 ^ р < ] 1 туральное число д, что ' • П р т * ' < ' — Р ' существует такое на­ М Очевидно, что вообще, если х=а+у,. где а — целое число, то