* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

310 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ П р и м е ч а н и е . В частности, при п=0 мы находим: 0 ^ а < ^ 1 ; число, представляемое А-ичнои дробью, всегда принадлежит, следо­ вательно, этому отрезку. Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как со то, очевидно, а — s,.5^0; далее, так как по нашему соглашению среди цифр д , а , . . . всегда найдутся меньшие, чем k — 1, то я + 1 я + 2 а V Zi fc — 1 ft* — +1 k ~ 1 / i » 1 , 1 , l 1 Г"Г"Г"Г"3?"Г-"/""ft*"' £ = /1 + 1 чем теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. Д л я /кого чтобы дробь (I) представляла число а, необходимо и достаточно, чтобы при любом я ^ 1 <7ыло: a =[k a\-k[k^a\. n n (2) П р и м е ч а н и е . Символ [л;] означает наибольшее целое число, не превосходящее х. Так, [тс] = 3, [ — ъ] = — 4 и т. д. Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть число а и дробь (1) таковы, что 0 = ^ а < ^ 1 и соотношение (2) выполнено для любого Тогда 1*4 ft" откуда g ы И — [*Ч я 4 » ft"a—[ft*a] ~ ^ = ft" т о Но так как для любого х, очевидно, О^х—М<4» 0^a-5„<-L ( л = 1 , 2, . . . ) ; отсюда при я - * о о , это и означает, что дробь (1) пред­ ставляет число а. 2) Пусть теперь, обратно, дробь (1) представляет число о. Тогда в силу теоремы 1 для п^О откуда