* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

300 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Однако эта двузначность имеет столь же тривиальный характер, как в теории десятичных дробей, например двузначность представления 1=0,999 и как там мы уничтожаем эту двузначность простым соглашением не пользоваться разложениями, оканчивающимися бесконечным рядом девяток, так и здесь мы можем условиться исключить из рассмотре­ ния все цепные дроби, у которых a = 1. Это всегда возможно, так как дробь n+t [а \ а*, . . . . a _ х n lf а п% 1] всегда равна дроби [а,; а , а a _ , a„ + l ] , n t у которой последний элемент больше единицы. • Покажем теперь, что, приняв только что упомянутое соглашение, мы тем самым обеспечиваем единственность представления всякого рационального числа в виде цепной дроби. Пусть [a ; a , а , •••! Л 0 t а а = [Ьъ\ Ь и 6, а b] s 9 причём а ^>1 г и b ^>l; s требуется доказать, что г = 5 , а = 6 , 0 0 = Из . •., a = b . r r I ^гк 1 ~ *= гк + и I 0_г 1 or + b s следует, что целые части левой и правой дробей должны быть одинаковы; но второе слагаемое левой дроби есть правильная дробь, так как единице оно может равняться лишь при г = 1 , а — \ — случай, исключённый нашим требованием а ^>\. Поэтому целая часть левой дроби есть а ; по такой же причине целая часть правой дроби есть b и, следовательно, а = 6 . Но если так, то наше равенство даёт: х г 0 Q 0 0 1 - н + 1