* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА И ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 299 а (которое может быть и отрицательным и нулём), в то время как а , а> • • e +i — натуральные числа. Мы видим, таким образом, что алгорифм Евклида получает для нас новое и очень важное значение: он доказывает возможность представления любой простой дроби в виде цепной дроби и вместе с тем позволяет фактически получить это представление. Элементарная арифметика учит нас представлять рациональные числа в нескольких различных видах: в виде простых или обыкно­ венных дробей; в виде десятичных (и вообще систематических, т. е. отнесённых к определённой системе счисления) дробей, конечных или бесконечных периодических; наконец, в процентном исчислении. Наряду с этими различными представлениями, каждое из которых имеет свои преимущества, представление чисел в виде непрерывных дробей также играет важнейшую роль как в развитии теории, так и для „непосредственных практических приложений. Поэтому учение о цепных дробях получило очень шцрокое-ра&витие, продолжающееся и до настоящего времени. В целях сокращения записи цепную дробь, стоящую в правой части равенства (6), обычно символически записывают в виде а n [а>и # t А> Л31 •••» я ] ; п+1 х точка с запятой после a имеет целью подчеркнуть роль а как «целой части» изображаемого данной цепной дробью числа. Числа а 09* «• -> n+i называются элементами данной цепной дроби; иногда их называют неполными частными — название, напоминающее их происхождение из алгорифма Евклида. Прежде всего встаёт, разумеется, вопрос о е д и н с т в е н н о с т и представления данного рационального числа цепною дробью. Могут ли две различные цепные дроби изображать одно и то же число, т. е: попросту быть равны друг другу? Что это, вообще говоря, возможно, показывает уже тривиальный по своей простоте пример: и a 1 _ 2 — или в символической форме 1 1 • •+т [0; 2] = [0; 1, 1]. Вообще, если а п + 1 ^ > 1 , то в„ 1=(а + я + 1 — О + у . — а поэтому [а ; а , . . . , а ] х 9 п+1 = [а ; а , . . . , а х а п+1 1, 1].