* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

296 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ многочленов. Впрочем, и здесь наибольший общий делитель обла­ дает весьма простым максимальным свойством, которое мы должны теперь установить, тем более, что именно этим путем мы сможем разобраться в вопросе о е д и н с т в е н н о с т и наибольшего общего делителя; этот вопрос, который для целых чисел, очевидно, решается автоматически, здесь требует, напротив, особого рассмотрения. Прежде всего ясно, что наряду с наибольшим общим делителем D(x) многочленов А(х) и В(х) тому же определению будет удо­ влетворять и любой многочлен вида rD(x), где г—любое отличное от нуля рациональное число. Таким образом, любые два многочлена имеют бесконечное множество наибольших общих делителей, отли­ чающихся друг от друга постоянными множителями; это не должно казаться нам странным, так как мы уже знаем, что в нашей теории все рациональные числа играют роль единицы. Отличие между двумя такими наибольшими общими делителями в такой мере тривиально, что мы можем считать их лишь несущественно различными. Легко теперь убедиться, что всякий общий делитель D'(x) многочленов А (х) и В (х), существенно (т. е. не только постоянным множителем) отличный от D(x), должен иметь степень, низшую, чем D(x). В самом деле, если D(x) — число, то D'(x) как делитель D(x) также есть число и, значит, лишь несущественно отличается от D (х); если же степень D (х) положительна, то частное от деления D (х) на D' (х) в силу их существенного различия должно иметь положительную степень, и следовательно, степень D' (х) ниже сте­ пени D(x) что и надо было установить. Можно, таким образом, сказать, что наибольший общий делитель двух многочленов опре­ делен однозначно с точностью до произвольного постоянного рацио­ нального множителя. Алгорифм Евклида, позволяющий, таким образом, найти наиболь­ ший общий делитель двух многочленов, вместе с тем и здесь, как в теории целых чисел, может служить базой для построения всей теории делимости. Прежде всего мы можем здесь в точной анало­ гии с тем, как мы это сделали выше для целых чисел, показать, что наибольший общий делитель двух многочленов может быть представлен в виде линейной комбинации этих многочленов; коэф­ фициентами этой комбинации служат, разумеется, также некоторые многочлены с рациональными коэффициентами. Из этого, в част­ ности, вытекает предложение, аналогичное теореме 1 главы I : если многочлены А(х) и В(х) взаимно просты, то существуют такие многочлены Х(х) и Y(x), что t А (х)Х(х) -\- В (х) У(х) = 1. Это, прежде всего, показывает, что основная задача неопреде­ ленного анализа первой степени с двумя неизвестными для много­ членов с рациональными коэффициентами решается в том же смысле, как и для целых чисел. Далее, следуя в точности по пути, изложен-