* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА И ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 295 1 7 кроме рациональных чисел г и многочленов вида . При этом только сами рациональные числа к простым многочленам не при­ числяются, подобно тому как в теории делимости целых чисел единицу не причисляют к простым числам. Соотношение (4), совершенно аналогичное соотношению между делимым, делителем, частным и остатком в теории целых чисел, может и здесь стать исходной точкой для построения алгорифма Евклида и тем самым как бы в зародыше уже содержит в себе всю теорию делимости. В случае целых чисел решающим моментом было то, что при всяком делении остаток меньше делителя; именно на этом основывалась конечная длительность алгорифма. В случае же многочленов у нас с т е п е н ь остатка всегда меньше степени делителя. Но так как натуральное число, что бы оно ни означало, при непрестанном понижении через конечное число шагов должно дойти до нуля, то и здесь конечность процесса нам гарантирована. Формальная сторона алгорифма протекает в столь полной ана­ логии со случаем целых чисел, что нам нет надобности воспроиз­ водить ев здесь в деталях. Мы д е л и м а я (JC) на В(х) затем В(х) на первый остаток, затем первый остаток на второй и т. д . Покуда остаток не есть число (т. е. имеет положительную степень), степень следующего остатка будет ниже степени данного; если же мы при­ дем к остатку степени 0 (т. е. к рациональному числу), то следую­ щий остаток равен нулю. Таким образом, во всех случаях рано или поздно остаток обратится в нуль. Обозначая через R (х) последний остаток, отличный от нуля (он может, в частности, ока­ заться и числом), мы будем иметь, как и в случае целых чисел, соотношения 9 n Rn-* М = Q n {*) Rn-i <*)+Rn С*). Первое из них показывает, если учесть второе, что и R _ (x) делится на R (x); восходя же в цепи полученных равенств всё выше и выше, мы в конечном счёте убедимся, как в случае целых чисел, что и оба исходных многочлена делятся на R (x). Итак, R (x) есть общий делитель двух данных многочленов. Но далее, проходя ряд полученных равенств в нисходящем порядке, мы так же, как и в случае целых чисел, убеждаемся, что всякий общий делитель D(x) многочленов А(х) и В(х) есть вместе с тем дели­ тель и многочлена R (х)~ Таким образом, R (х) есть такой общий делитель многочленов А(х) и B(x) который делится на всякий другой их общий делитель. Естественно поэтому называть R (x) наибольшим общим делителем многочленов А(х) и В(х)\ это тем более естественно, что многочлены мы не можем сравнивать по величине,.и поэтому обычное в теории целых чисел определение наибольшего общего делителя не может быть перенесено в область n % n n n n n f n