* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА И ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 293 нам, что число г может быть представлено как «линейная комби­ нация» чисел а и Ь т . е . как выражение вида ах-\-Ьу где х и у — целые числа (х= 1, у = — а,); но в таком случае из равенства (2) следует, что r^ = b — г а также может быть представлено в виде линейной комбинации чисел а и Ъ\ х 9 9 х % Гъ = Ь — (ах-\-Ьу) а = а ( — а * х ) -\-b(l— а а^у). Спускаясь снова в нашей цепи равенств, мы таким образом посте­ пенно убеждаемся в возможности выразить в виде ах-]-by числа г , Гь ••• ; наконец, равенство (3), в котором числа г _ и г _ в этом виде уже выражены, очевидно, позволит нам представить и г как линейную комбинацию чисел а и Ь. Мы приходим, таким обра­ зом, к хорошо знакомой нам из главы I теореме: наибольший общий делитель двух чисел всегда может быть представлен в виде линейной комбинации этих чисел, В частном случае, когда числа а и Ь взаимно просты, это даёт теорему 1 главы I (см. стр. 258). Мы получили, таким образом, уже третье доказательство этой теоремы и притом такое, которое одновременно даёт кратчайший путь к отысканию искомых чисел х и у. Когда мы ознакомимся с элементами теории цепных дробей, мы увидим ещё более удобное расположение операций, ведущих к отысканию этих чисел. Из теоремы 1, как мы видели в главе I , немедленно вытекает теорема 2, на которой базируется доказательство фундаментальной теоремы о единственности разложения чисел на простые множители, а значит, и вся теорий делимости. Вместе с тем эта же теорема 1 служит основанием и всей теории уравнений первой степени с двумя неизвестными. Но значение алгорифма Евклида выходит далеко за пределы арифметики натуральных чисел. Не говоря уже о том, что этот метод позволяет построить теорию делимости для целых чисел ряда алгебраических областей, алгорифм Евклида служит наилучшей базой для обоснования теории делимости многочленов с одной переменной в алгебре. Этот вопрос, по своей элементарности непосредственно примыкающий к школьному курсу алгебры, нам необходимо рас­ смотреть здесь подробно; при этом мы сможем только во многих случаях вести изложение значительно короче, ссылаясь на почти полную аналогию с вышеприведёнными рассуждениями. Объектом' наших действий будут теперь не числа, а многочлены вида Р(х)=а х -\-а х ' -\... -\- _ х-\-а 3 п а п х п п п 1 0 х ап х п9 где коэффициенты а , а ... , а — рациональные числа. Мы называем многочлен Р (х) многочленом степени п если a ^ 0 . Если А(х) и В{х) — два таких многочлена, причём В(х) не есть постоянное число (т. е. многочлен, все коэффициенты кото­ рого, кроме * свободного члена, равны нулю), то элементарный проя Х9 п 9 f t