* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

286 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ результат может быть формулирован в виде следующего простого предложения: Т е о р е м а 5. Пусть в сравнении (7) (a, m)=d. Тогда это сравнение имеет d решений, если b делится на d и ни одного решения в противном случае. При этом рассмотренный нами ранее случай d=l полностью укладывается в эту общую формулировку, не требуя никаких ого­ ворок. Очевидно, мы можем формулировать полученный общий резуль­ тат и в терминах уравнений первой степени с двумя неизвестными. Пусть в уравнении ах — ту = Ь f (a, m) = d. Тогда, если Ъ делится на d, то данное уравнение имеет бесчисленное множество целых решений, причём если (х , у ) есть одно решение, то все решения содержатся в формулах е 0 x = x I ж. и ^ k ~ j , на y=y 0 , + ш а k- -. d Если же Ь не делится целых решений. то данное уравнение вовсе не имеет Переходя теперь к алгебраическим сравнениям высших степеней, мы ограничимся рассмотрением лишь сравнений по простому мо­ дулю р, так как только для них аналогия с уравнениями может быть проведена сколько-нибудь далеко. Таким образом, мы будем иметь дело со сравнениями вида Р(рс) = а^-\-а ^ -\% 0 1 . . . -{-а^х + а^О (mod/?), (11) где р — простое число и а не делится на р. Прежде всего мы докажем для таких сравнений предложение, аналогичное так называемой «теореме Безу» для алгебраических уравнений. Т е о р е м а 6. Если х=а (mod/?) есть решение сравнения (11), то существует такой многочлен Q(x) степени п — 1 с целыми^ коэффициентами, что тождественно (т. е. для любого целого х) P(x)~{x — a)Q(x) (mod/?)(12) Доказательство этой теоремы легко проводится в точной ана­ логии с обычным доказательством теоремы Безу. Обычное алге­ браическое деление многочлена Р (х) на двучлен х — а даёт в частном некоторый многочлен Q (х) степени п — 1 с целыми коэффициентами и в остатке некоторое целое число г, так что тождественно f(x)={x — a)Q(x) + r..