* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

276 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИГЕЛ d— V должна делиться на mi На этот вопрос отвечает нам тео­ рема 2 главы I : это будет всегда, если числа dwm взаимно просты. Отсюда следует важное правило: обе части сравнения всегда иожно разделить на одно и то же число, взаимно простое с модулем. Напротив, если число d не взаимно просто с модулем т, то деле­ ние обеих частей сравнения на d вообще говоря, невозможно, как этому учит вышеприведённый пример, где деление привело к невер­ ному результату именно потому, что мы делили на число 9, не взаимно простое с модулем 6. Обнаруженное нами различие в поведении сравнений и равенств имеет своей причиной то весьма важное обстоятельство, что сравне­ ния, вообще говоря, не подчиняются одному из основных принципов теории равенств: если произведение двух чисел равно нулю, то по меньшей мере один из сомножителей также равен нулю. В теории сравнений аналогичный принцип, очевидно, гласил бы: если произве­ дение двух чисел сравнимо с нулём по модулю т, то по меньшей мере один из сомножителей также сравним с нулём по модулю т. Но сравнимость с нулём по модулю т есть не что иное, как дели­ мость на т\ поэтому наш принцип гласил бы: если произведение двух чисел делится на т, то по меньшей мере один из сомножи­ телей должен делиться на т. Это же, вообще говоря, неверно: 4 X 15 = 60 делится на 6, между тем как ни 4, ни 15 на 6 не де­ лятся. Именно незаконное применение этого принципа, как легко видеть, и привело нас в нашем предыдущем примере к неправиль­ ному результату. Однако теорема 3 главы I учит нас, что есть один случай, когда этот принцип всё же оказывается верным: если модуль р есть про­ стое число, то из делимости на р произведения двух чисел обяза­ тельно вытекает делимость на р по меньшей мере одного из со­ множителей. Этот замечательный факт имеет своим следствием то, что сравнения по простому модулю в значительно большей степени аналогичны равенствам, нежели сравнения по модулю составному. В частности, в известном смысле можно сказать, что вопрос о возможности деления обеих частей сравнения на одно и то же число в случае простого модуля решается в точности так же, как для равенств. В самом деле, выше мы убедились, что обе части сравнения всегда можно делить на одно и то же число d, взаимно простое с модулем т\ но если т есть число простое, то «быть взаимно простым с т» означает просто «не делиться на т» или, что то же, «не быть сравнимым с нулём по модулю т». Таким образом, в случае простого модуля запрещается делить обе части сравнения лишь на такие числа, которые сравнимы с нулём по данному модулю. Но числам, сравнимым с нулём по данному модулю, в теории равенств по аналогии соответствует обыкновенный нуль, деление на который ведь также запрещается. Таким образом, мы t 9