* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 269 важнейшие результаты вполне элементарными арифметическими при­ ёмами. не прибегая к средствам высшей математики. Вслед за работами Чебышева появилось исследование немецкого математика Римана, указавшего на совершенно новый, сложный аналитический подход к задаче распределения простых чисел. Сам Риман не получил своим методом ни одного арифметического ре­ зультата. Однако значительно позже, уже в самом конце XIX сто­ летия, метод Римана в связи с развившейся к тому времени теорией функциий комплексной переменно^обнаружил замечательную мощ­ ность. В частности, в 1894 г. французскому учёному Адамару удалось, наконец, достигнуть давно преследуемой цели — доказать соотно­ шение (4), показывающее, что функция действительно служит 1 асимптотическим выражением для числовой^функции ъ(п). Дальнейшие усилия вплоть до настоящего времени были направ­ лены на уточнение этого результата, т. е. на возможно более точ­ ную оценку разности я (л) In п которая сргласно теореме Адамара бесконечно мала при л - > оо. Выдающиеся результаты в этом направлении получены в последние годы советской школой теории чисел, руководимой акад. И. М. Вино­ градовым, одним из величайших творцов арифметической науки нашей эпохи. Другая линия развития теории простых чисел, также идущая от теоремы Евклида о бесконечности множества простых чисел, стре­ мится установить существование бесконечного множества простых чисел в той или иной ч а с т и натурального ряда, т. е. среди нату­ ральных чисел того или иного определённого вида. Классическим результатом в этом направлении является теорема Дирихле о суще­ ствовании бесконечного множества простых чисел в любой арифме­ тической прогрессии, первый член и разность которой взаимно просты. Однако до сих пор наука не смогла продвинуться сущест­ венно дальше этого результата (для которого, кстати сказать, мы до сих пор не имеем вполне элементарного доказательства). Теорема Дирихле утверждает, что если числа а и b взаимно просты, то суще­ ствует бесчисленное множество простых чисел вида ах-\-Ь (где х— целое число). Следующим естественным шагом было бы исследование в том же смысле выражений второй степени, т. е. выражений вида ах -\- bx - j - с. Однако в этом направлении ничего сделать не удалось. Современная наука не знает никакого подхода даже к простейшему частному случаю этой задачи — к вопросу о том, существует ли бесчисленное множество простых чисел среди чисел вида д ^ - | - 1 , т. е. в ряду чисел 2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . Наконец, особый и очень интенсивно культивируемый круг во­ просов теории простых чисел составляют задачи, группирующиеся 2