* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

268 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ чисел, не превосходящих л) хорошее приближённое выражение в виде какой-нибудь простой аналитической функции от л, иссле­ довать рост которой не представляло бы никаких затруднений. Представлялась, например, очень заманчивой мысль найти для функ­ ции « ( л ) «асимптотическое» аналитическое выражение, т. е. такую аналитическую функцию 9 (л), чтобы <р(л) v ' (иначе говоря, чтобы я (я) и ф ( я ) были «эквивалентными» бесконечно большими). Однако наука той эпохи не располагала ещё необходи­ мыми средствами для решения этой важной задачи. Изучение таблиц показывало, что среди элементарных функций имеется одна очень простая, и м е н н о ^ , дающая (в пределах таблиц) при больших л хорошее приближение для п (л), и многие крупнейшие учёные того времени (Лежандр, Гаусс) настойчиво пытались теоретически обос­ новать эту лишь эмпирически подмеченную близость. Задача ока­ залась, однако, непомерно трудной, и ни одного результата в этом направлении не удалось получить вплоть до середины XIX столетия, когда замечательные исследования нашего великого учёного П. Л. Чебышева сдвинули, наконец, вопрос с мёртвой точки. Маячившей перед всеми исследователями целью было, как уже сказано, доказательство соотношения я (л) я (л) In п , — v1 ( я - * оо). (4) In л На пути к этой цели, которая в ту эпоху ещё не могла быть достигнута, Чебышев впервые д о к а з а л несколько важных фактов, среди которых отметим два следующих: 1. Если предел те (л) In я lim ч л-оо п существует, то этот предел равен единице. 2. Для всех достаточно больших я 1п2<^"^"-<21п2. п Значительность этих замечательных досгижений, уже довольно близко подводящих нас к окончательной цели (4), в особенности подчёркивается двумя обстоятельствами: во-первых, тем, что до Чебышева в этом направлении не удавалось доказать ровно ничего, так что наш великий математик не имел предшественников и все идеи и методы доказательств должен был создавать совершенно заново; во-вторых, замечательно то, что Чебышев получил свои