* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 267 нет никаких оснований представлять себе дело так, будто где-то там, очень далеко в натуральном ряду, каждое простое число стоит в одиночестве, не имея близких соседей ни в ту, ни в другую сто­ рону. Напротив, изучение таблиц показывает, повидимому, что мы от времени до времени всё вновь и вновь встречаем в натуральном ряду очень близких простых соседей, даже так называемых «близ­ нецов», отстоящих друг от друга всего на две единицы, как (5, 7), (41, 43), (101, 103) и т. д. Правда, вопрос о том, существует ли бесчисленное множество таких «близнецов», в настоящее время нау­ кой ещё не решён; у нас, однако, нет никаких оснований считать такое существование невозможным. Сделаем ещё следующее интересное замечание. Та лемма, кото­ рую мы доказали выше, привела нас к теореме Эйлера, говорящей о сравнительной «редкости» расположения простых чисел в нату­ ральном ряду. Но та же самая лемма даёт возможность установить (и притом гораздо более простым путём), что простые числа распо­ ложены в натуральном ряду всё же и достаточно густо. В самом деле, из теории бесконечных произведений ) известно, что стрем­ ление к нулю произведения 1 при неограничено возрастающем п равносильно расходимости оо ряда 2 — J т. е. тому, что сумма п 2 1 I Pi неограниченно возрастает с возрастанием п; в этом отношении ряд простых чисел ведёт себя так же, как весь натуральный ряд ^рас­ ходимость «гармонического» ряда 1+ \ + ^ + • • • + — ~Ь • • » I , 2, s 8 в противоположность, например, ряду «полных квадратов» З , . . . (ряд 8 ^ ^ с х о д и т с я )• Это показывает, что простые числа в некотором смысле расположены «гуще», чем полные квадраты. Все эти элементарно доказуемые факты, установленные примерно к началу XIX столетия, дают, однако, ещё только весьма смутное представление о густоте расположения простых чисел в натураль­ ном ряду. Учёные той эпохи давно уже лелеяли мечту о завоевании гораздо более значительном: найти для функции я (л) (число простых *) См. А. Я- X и н ч и п, Восемь лекций по математическому анализу, Гостехиэдат, 1948.