* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 263 числа, отличный от 1. Очевидно, что р есть простое число; но р не может совпадать ни с одним из чисел р р , p так как р есть делитель числа Р-\-1 которое при делении на любое из чисел р p ..., р даёт в остатке 1 и, следовательно, не делится нацело. Таким образом, р есть новое простое число, не входящее в состав заданной группы, и теорема Евклида доказана. В вопросе о законах чередования простых чисел в натуральном ряду можно отметить, повидимому, ещё только один факт, доказы­ вающийся столь же просто, как теорема Евклида: существуют сколь угодно длинные участки натурального ряда, вовсе не содержащие простых чисел и, следовательно, сплошь состоящие из чисел составных. В самом деле, если п^>1—любое натуральное число, то в ряду чисел л ! + 2, л ! + 3, л ! + 4, л! + л и 2 kP 9 и i9 к (представляющих собой участок натурального ряда длины п—1) не может содержаться ни одного простого числа, так как л ! - [ - 2 делится на 2, л! -|~ 3 — на 3 и т. д., наконец, Л ! - | - Л делится на п, причём во всех случаях делитель меньше делимого. Вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду почти совершенно не был продвинут от Евклида до Эйлера. С целью подметить какие-либо закономерности в чередовании простых чисел были составлены таблицы этих чисел, начиная от 2 и до весьма больших пределов (в настоящее время примерно до десяти миллио­ нов). Изучение этих таблиц показывало, что, продвигаясь в нату­ ральном ряду, мы в с р е д н е м встречаем простые числа всё реже и реже; но это — только в среднем. Уменьшение количества про­ стых чисел происходит чрезвычайно нерегулярно; после значи­ тельных разрежений снова появляются «сгустки», причём до сих пор не установлена закономерность чередования этих сгустков и разрежений. Это придаёт проблеме распределения простых чисел её истори­ чески известную влекущую силу. Важнейший из результатов Эйлера в этой области является тео­ ретическим обоснованием этого постепенного уменьшения количества простых чисел во всё более удалённых частях натурального ряда, с которым мы, как уже было сказано, встречаемся при изучении таблиц. Условимся обозначать через я (я) число простых чисел, не превышающих числа л, так что, например, тс ( 1 0 ) = 4 , т: ( 2 3 ) = 9 и т. д. Тогда отношение тс (л)/л (которое, конечно, всегда заклю­ чено между нулём и единицею) можно рассматривать как долю, как «среднюю плотность» простых чисел в отрезке натурального ряда от 1 до я. Чем эта дробь меньше, тем меньшая доля нату­ ральных чисел отрезка ( 1 , п) принадлежит множеству простых чисел.