* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 257 Перейдём теперь к доказательству основной теоремы, которое во многих отношениях представляет методологический интерес. Прежде всего очень легко доказать в о з м о ж н о с т ь разло­ жения. Пусть л ^ > 1 — л ю б о е натуральное число. Среди его дели­ телей существуют числа, превосходящие 1 (например, само число и)Пусть р — наименьший из таких его делителей; очевидно, р есть простое число, ибо иначе оно имело бы такой делитель а, что 1<^Я<СА; * будучи делителем p было бы и делителем числа п что, очевидно, противоречит определению числа р ; итак, п=р п , где р — простое число. Если п ^>\, то, поступая с ним так же, как мы только что поступили с числом п, мы представим его в виде п =р щ, где р — простое число; отсюда п=р р п \ если еще я ^ > 1 , то этот процесс, очевидно, можно продолжать и далее. Так как при этом п^>п ^>п^^>... , то проводимый нами процесс после конечного числа шагов должен прекратиться, что может наступить лишь при условии, что какое-либо n =U Но тогда х х Н О а v у х х х х х х г 2 х 2 2 а х k где р , /? , p — простые числа. Этим и доказана возмож­ ность разложения любого натурального числа л^>1 на простые множители. Теперь мы должны убедиться в е д и н с т в е н н о с т и такого разложения, что представляет собою задачу значительно более трудную. Исторически очень инхересно, что неочевидность этой единственности (а значит, и необходимость её доказательства) была осознана сравнительно поздно, после того как долгое время уже пользовались ею как самоочевидным фактом. Повидимому, Гаусс впервые настойчиво указывал на то, что невозможность двух суще­ ственно различных разложений одного и того же числа на простые множители отнюдь не самоочевидна и нуждается в строгом доказа­ тельстве. Даже такие выдающиеся ученые, как, например, Лежандр, писавший незадолго до Гаусса, не замечали этого. Дальнейшее развитие теории чисел показало, в какой мере Гаусс оказался прав не только с формально-логической, но и с идейной точки зрения. В XIX столетии учёным пришлось исследовать законы дели­ мости для областей, более сложных, чем числа натурального ряда,— для, так называемых целых алгебраических чисел. Законы эти во многом напоминали то, что мы имеем в области натуральных чисел, но вместе с тем иногда оказывались и существенно иными; в част­ ности, здесь имеются простые числа, и любое число разлагается на простые множители; но разложение это, вообще говоря, неодно­ значно, и именно это обстоятельство создало в арифметике алге­ браических чисел новую, своеобразную трудность, совершенно не­ знакомую обычной арифметике натуральных чисел и в настоящее время успешно прёодолённую. х 9 k 17 Энциклопедия, к в . 1.