* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

256 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ последнее столетне не было и нет во всём мире и традиции которой в руках блестящей плеяды советских математиков и сегодня еще приводят к глубочайшим достижениям Нам предстоит здесь в кратком очерке проследить развитие некоторых разделов этого учения от древнейших времен до наших дней, уделяя — там, где это нужно, — особое внимание методоло­ гической и педагогической стороне дела. § 2. Однозначное разложение чисел на простые множители Для всех многообразных разветвлений теории делимости цен­ тральное место занимает теорема об однозначной разложимости чисел на простые множители: О с н о в н а я т е о р е м а . Всякое натуральное число, кроме 1, может быть представлено как произведение простых множи­ телей; это представление единственно, если отвлечься от порядка множителей. Последнее означает, что если мы имеем п =Р\Р* ••• Рг=Я\Яъ ••- 9s» где все p и q — простые числа, то s—r и числа qj лишь по­ рядком расположения могут отличаться от чисел PiП р и м е ч а н и е . Число р^>1 называется простым (или абсо­ лютно простым), если оно не имеет других делителей, кроме р и 1. Все другие числа, превосходящие 1, называются составными; число 1 занимает особое положение, не будучи н и п р о с т ы м , н и с о с т а в н ы м . К сожалению, до недавнего времени почти все наши учебники причисляли единицу к простым числам; да и сейчас ещё сохранились среди методистов влиятельные сторонники этой традиции, несмотря на её грубую ошибочность, многократно дока­ занную. Вопрос о том, считать ли единицу простым числом, не есть, как это могло бы казаться, вопрос терминологии или вкуса. Называя единицу простым числом, мы немедленно делаем невер­ ными почти все теоремы, связанные с простыми числами. Доста­ точно указать, что только что формулированная нами основная теорема при этом становится неверной, ибо, например, число 5 может быть разложено на простые множители бесконечным мно­ жеством способов: t } 5 = 1 . 5 = 1 - 1 . 5 = 1 - 1 - 1 - 5 = ... ; если 1 — п р о с т о е число, то все эти разложения различны между собою (хотя бы потому, что число множителей в них различно). *) Важнейшие этапы развития этой школы очень детально изложены в книге Б. Н. Д е л о н е , Петербургская школа теории чисел, Издательство АН СССР, 1947.