* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

248 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ чисел D. Пусть х— любой элемент алгебры R, не входящий в D . По доказанному в пункте а) существуют действительные числа с, d, где с Ф 0, для которых элемент j=cx-\-d обладает свойством / * = — 1 . Из коммутативности R следует, что lj=jl, откуда V+У) С -])=?-Ц +ji -J*=о. Так как согласно замечанию 4 в R отсутствуют делители нуля, то либо / — У = 0 , либо i-\-j=0 т. е. j = ±i а потому t t с с с — С Поэтому х принадлежит /? , откуда R = R. Итак, алгебра R либо совпадает с D, либо изоморфна полю комплексных чисел R. Согласно замечанию 3 любая коммутативная алгебра с делением над полем действительных чисел изоморфна некоторой алгебре R (очевидно, также коммутативной и с деле­ нием), т. е. изоморфна либо полю действительных чисел D, либо полю комплексных чисел R. в) Пусть R — любая алгебра с делением ранга 1 над полем действительных чисел D, содержащим D . Приняв за базисный эле­ мент число 1, получим, что любой элемент х из R имеет вид х=а> 1 = а с действительным а, следовательно, R = D. По за­ мечанию 3 любая алгебра с делением ранга 1 над D изоморфна полю действительных чисел D. г) Пусть R — любая алгебра с делением ранга 2 над полем действительных чисел D, содержащая D. Тогда R ф D. По дока­ занному в пункте а) в R существует элемент I со свойством i*=— 1. Элементы 1, I линейно независимы, так как иначе а, • 1 -|-\-а& = 0 с действительными а а^ отличными от нуля (ибо в силу отсутствия делителей нуля из a = 0 следует а = 0 , и обратно). J 1 0 0 и t 2 — , т. е. принадлежит D, что невозможно ввиду а* i* =—1 ( § 10, теорема 7)- Так как в л-мерном векторном про­ странстве любые п линейно независимых векторов образуют базис ) и R — алгебра ранга 2, то элементы 1, i образуют базис. Таким образом, любой элемент х из R однозначно представляется в виде х=а-\-Ы с действительными а и Ь. Если х=а-\~Ы и у=с-{-\-di — любые два элемента из /?, то из таблицы умножения эле­ ментов легко находим: * + .У = (« + «) + <*+<0'. ху=(ас — bd) + (ad -f- be) L 1 Тогда i= Итак, алгебра R изоморфна полю комплексных чисел К» По замечанию 3 любая алгебра с делением ранга 2 над полем ') См. Э. э. м., кп. 2, А. И. У э к о в. Векторные пространства и линей­ ные преобразования.