* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

234 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ» КОЛЬЦА И ПОЛЯ комплексные числа можно изобразить точками плоскости Оху. Именно, для числа z = a-\-bi откладываем на Ох от точки О отрезок OA длины \а\ и притом вправо, если а ^ > 0 , и влево, если а<^0. На прямой Оу откладываем отрезок ОБ длины \Ь\ и притом вверх, если Ь^>0, и вниз, если ft<^0. Через точку А проводим прямую, параллельную Oy а через В— прямую, параллель­ ную Ох. Точка Z пересечения этих прямых и принимается за изо­ бражение числа z. Легко убедиться, что любая точка нашей пло­ скости является изображением некоторого комплексного числа и что данное соответствие между комплексными числами и точками плоскости Оху взаимно однозначно. Очевидно, что при этом число г = а-\-Ы изображается точкой Z(a, b) с прямоугольными декартовыми координатами а и Ь. Действительные числа и только они изображаются точками пря­ мой Ох. Числа вида Ы, называемые чисто мнимыми, и только они изображаются точками прямой Оу. Поэтому прямая Ох называется действительной, а Оу—мнимой осью. Направления вправо по Ох и вверх по Оу называются положительными, а влево по Ох и вниз по Оу — отрицательными. Точка О называется началом ко­ ординат, а прямые Ох и Оу—осями координат. Во всём дальнейшем мы не будем непосредственно опираться на геометрическое представление комплексных чисел для доказательства каких-либо их свойств; мы будем, однако, прибегать к геометриче­ скому представлению для придания наглядности этим свойствам. f Тиоо ер чса фр а кмлсоо ч с а р гнмтиекя ом о п енг ил. формой z=r (cos a + i sin ct), О п р е д е л е н и е . Тригонометрической числа z называется его запись в виде комплексного где г и a — числа действительные, причём r ^ O . Число г назы­ вается модулем, а а — аргументом комплексного числа z. Т е о р е м а 1. Любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме. При этом модуль z определён одно­ значно и равен нулю тогда и только тогда, когда z=0, а аргу­ мент для z = 0 может быть произвольным числом, а для гфО определён с точностью до слагаемого, кратного 2п. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если г = 0 , то 0 • (cos о -|- i ski о) при лю­ бом о будет тригонометрической формой числа z. Обратно, если г (cos a - } - i sin а ) = 0 , то из sin a4-cos a = 1 следует, что cosa-|- j - i s l n a ф 0 и, следовательно, г = 0. Этим все утверждения теоремы, касающиеся случая z = 0, доказаны. Пусть г = а-\-ЫфО. Тогда числа а и b не равны нулю одно­ временно и а?-\-Ь*^>0. В поле действительных чисел ] / а * - { - ^ имеет два значения: положительное и отрицательное (§ 26, теорема 4). Пусть г — положительное значение этого корня. Так как а ^ г и 8 s а 9 а