* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ь 233 честве подполя и отображающееся на К изоморфно так, что каждое число а из D отображается при этом на соответствующую ему пару (а, 0) из D ' (§ 9, теорема 2). Т е о р е м а 5- Поле К является полем комплексных чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о . По построению поле К содержит поле D. Далее, поле К содержит пару (0, 1). Обозначим эту пару через /, т. е. положим: / = ( 0 , 1).-.В поле АГ мы имеем: 0 (0, 1) = (0, 1)(0, 1) = ( 0 - 0 — 1 - 1 . 2 0 - 1 + 1.0) = (— 1, 0). 0 Но при построенном выше изоморфном отображении /Г на К эле­ менту ( — 1 , 0) из / С соответствует число —1 из К* Следовательно, в К должно быть Р = — 1 . Итак, поле К обладает свойством 1) из определения 1. Остаётся доказать минимальность поля К. По теореме 1 для этого достаточно показать, что любой элемент х из К представим в виде х=а-\-Ы с действительными а и ft. Пусть при упомянутом изоморфизме АГ и элементу х из К соответствует пара (a, ft) из К . Легко проверить справедливость равенства 0 0 (д, ft) = (a, 0) + (ft, 0)(0, 1) в К . Отсюда в силу нашего изоморфизма между К х=а-\-Ьь Теорема доказана. 0 ь и К находим: § 29. Свойства комплексных чисел') Поле комплексных чисел обладает всеми свойствами колец и полей, рассмотренными в §§ 7, 8. Так как поле комплексных чисел содержит поле рациональных чисел, то его характеристика равна нулю. У Так как в любом расположенном поле №—М а ^ = 0 для любого элемента а (§ 10, теоре­ ма 7), а в поле комплексных чисел £ = — l в 2 то поле комплексных чисел не может быть ъ расположено. Геометрическое представление комплекс­ & а А1 о ных чисел. Возьмём на плоскости две взаим­ но перпендикулярные прямые — горизонталь­ ную Ох и вертикальную Оу — пересекающиеся Рис. 2. в точке О (рис. 2). Далее, выберем неко­ торый отрезок MN за единицу измерения отрезков. Тогда все 8 8 t 9 ) Здесь мы остановимся лишь на обосновании элементарных свойств комплексных чисел. Читателю, желающему ознакомиться с другими интерес­ ными свойствами этих чисел (например, с теорией делимости так называе­ мых целых комплексных чисел), рекомендуем книгу Р. О. Кузьмина и Д. К. Фаддеева 1