* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

232 0 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Итак, К является кольцом- Легко видеть, что нулём этого кольца является пара (0, 0), а противоположная пара и разность пар опре­ деляются равенствами — (а, *) = ( — а , — f t ) , (а, ft) — ( с , d) = (a — c, ft — d). Проверяем обратимость умножения (свойство VII). Пусть (a, ft) и (с, d) — две любые пары, причём (a, Ь)ф(0, 0). Последнее озна­ чает, что либо афО, либо ЬфО ). Так как а и ft — действительные числа, то а -\-Ь ^>0 (§ 10, теорема 7). Надо найти пару (х, у), удовлетворяющую уравнению 1 2 г (а, Ь)(х, у) = (с d). р (5) Предположим сначала, что такая пара существует. Тогда (ах — fty, ay-\-bx) f = (c, d), уравнений откуда ах—by = c bx-\-ay = d. Решая эту систему относительно х и у, найдём: ac-\-bd ad — be — a~ + b* ' ~ c*+ft* * Х У Этим доказано, что если пара (х, у), удовлетворяющая (5), суще­ ствует, то только одна, именно та, где х и у определяются из написанных для них выражений. Легко проверить, что такая пара действительно удовлетворяет равенству (5). В самом деле, и\ I а с + bd ~ \ ad — bc\ & Ь) Ы+ьГ' ^+W) дэ + 6 а = ' ( a*c + abd — bad + b*c a4 — abc + bac + b4\ , а* + Ь* ) — i> c «v a h Этим свойство V I I доказано. Так как К содержит более одного элемента, то свойство VIII выполнено. Теорема доказана. Отметим, что единицей поля К является пара ( 1 , 0), так как (a, ft)-(l, 0) = ( а - 1 — ft-0, а - 0 - j - f t . 1 ) = ( а , ft). Мы увидим, что поле /С с точностью до изоморфизма является полем комплексных чисел. Это поле не удовлетворяет определению 1, ибо оно не содержит действительных чисел. Займёмся включением в поле К поля действительных чисел D. Пусть D' — множество всех пар поля /Г вида (а, 0). Из формул (3) и (4), определяющих сложение и умножение пар, легко следует, что отображение а - > (а, 0) является изоморфным отображением поля D на множество D'. Следовательно, О' само является полем (§ 9, теорема 1). Далее, существует поле К, содержащее D в ка¬ *) Равенство и неравенство нар, как и элементов любых мпожеств, мы понимаем просто кик тождество ИЛИ различие. Таким образом (x,y) = (z t) тогда и только тогда, когда х = z, у = t 0 0 п 0 0 t