* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

230 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля теорема 5). Так как а = а-\-0 • i и i = 0-\-ll принадлежат М и К—минимально, то К=М, т. е. любой элемент из К представим в виде (1). Т е о р е м а 2. Все поля комплексных чисел изоморфны между собой, т. е. поле комплексных чисел определено однозначно с точ­ ностью до изоморфизма. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть К и /С — два поля комплексных чисел, причём К\ содержит элемент i а /С — элемент / со свой­ ством if = r§ = — 1 . По предыдущей теореме все элементы К за­ писываются в виде а-\-Ы и все элементы из К% — в виде а-\-Ы с действительными а и ft, причём однозначно. Отсюда легко вы­ вести, что соответствие f(a -\-bi ) = a -\-bi^ является взаимно одно­ значным отображением К\ на К*. Из равенств (2), б), в) следует, что сложение и умножение элементов из К и /С сводится к одним и тем же действиям над действительными числами. Отсюда легко вывести, что отображение / изоморфно. Надо доказать, что х 3 v в а х х x х 2 % /(*,+J^=/(*i)+/CV,). для любых х и у из Ку Проверим лишь первое из этих соотно­ шений, так как для второго рассуждение аналогично. Пусть х = а-\-Ы , y = c~\-di . Тогда х х х х x t f(x ) x = a-\-biv / C v , ) = c + d/ , 8 / ( * 1 + Л ) = Л ( в + " 1 ) + (в^ ={а + с) + (ft + d)/ = (а + Ы ) + (с + dk)=f(x )+f(y ). Теорема доказана. З а м е ч а н и е . При изоморфизме / любое действительное число а отображается само на себя, а элемент /, переходит в г . Т е о р е м а 3. Любое поле Р, содержащее поле действительных чисел D и элемент i со свойством / = — 1, содержит поле комплекс­ ных чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть К— множество всех элементов поля Р , представимых в виде а-\-Ы с действительными а и ft. Как в доказательстве теоремы 1 [п. б)], убеждаемся, что К—под­ поле поля Р ; К содержит поле действительных чисел D и элемент I . Так как любой элемент из К имеет вид а-\-Ы, то по теореме 1 поле К минимально в смысле определения 1, т. е. К является полем комплексных чисел. Теорема доказана. Теперь докажем существование поля комплексных чисел. Как и в случае целых рациональных и действительных чисел, достаточно построить интерпретацию (конкретный пример) поля, удовлетворяю­ щего определению 1. Можно было бы элементами этого поля просто считать символы a-\-bi где а и ft — действительные числа, а / — символ, подчинённый условию Р = — 1 . Но тогда надо показать. 2 г x x & а f