* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 229 Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть каждый элемент х поля К пред­ ставим в виде (1) с действительными а и Ь и пусть Р—любое подполе поля К, содержащее поле действительных чисел D и не­ который элемент j со свойством /* =—1. Так как р=/*=—1, то ( / + у ) ( г — / ) = * » — ij^-fi— / = 0. Но поле К не имеет дели­ телей нуля ( § 8, теорема 1), следовательно, либо / —}—у=0» либо i—/ = 0, откуда j-—±L Для любого х из К тогда x=a-\-bi = = a±bj т. е-'АГ принадлежит Р , Р совпадает с К. Этим доказана минимальность поля R, б) Пусть, обратно, поле К минимально. Покажем, что любой элемент х из К представим в виде (1). Пусть М есть множество всех элементов поля /С, представимых в виде (1). Покажем, что выполняются следующие свойства: 9 а) a-\-bl=c-\-di тогда и только тогда, когда а = с и b — d\ б) в) \ Г (a-\-bi)±(c a-\-bi c + d£~ + di) = (a±:c) ac^-bd c* +

0. Умножая делимое и делитель в левой части равенства г) на с — di^0 мы не изменим частного и легко приведём его к выражению, стоящему в правой части равенства. Из а) следует однозначность представления элемента х в ви¬ де (1). Из б), в) и г) следует, что сумма, разность, произведение и частное (если делитель отличен от нуля) двух элементов множе­ ства М снова принадлежат М т. е. М есть подполе поля Р (§ 8, 9 9 9 9 9 :=