* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 223 ласть определялась через старую при помощи наложения дополни­ тельных требований, обеспечивающих однозначное до изоморфизма определение новой области. Каждый раз мы строили интерпрета­ цию (конкретный пример) определяемой области. Ввиду изоморфиз­ ма всех множеств, удовлетворяющих данному определению, мы мог­ ли бы в каждом случае саму интерпретацию принять за определе­ ние данной области. Такое определение числовых областей назы­ вается конструктивным* Возникает вопрос, можно ли определить каждую из упомянутых областей аксиоматически? Расширяя числовую область, мы каждый раз налагали новые требования (возможность вычитания, деления и, наконец, непре­ рывность) при условии минимальности расширения. В отношении действительных чисел требование минимальности оказалось уже из­ лишним. Это означает, что совокупность свойств, предъявленных ко множеству действительных чисел, характеризует это множе­ ство однозначно до изоморфизма. Тем самым эта совокупность свойств дает аксиоматическое определение действительных чисел. Та­ ким образом, определение действительных чисел как непрерывного расположенного поля является их аксиоматическим определением. Собирая вместе все свойства, включённые в это понятие, приходим к такому определению. О п р е д е л е н и е . Полем действительных чисел называется непустое множество D, в котором двум любым элементам а и Ь соответствуют элемент а-\-Ь> называемый их суммой, и эле­ мент ab, называемый их произведением, и определено свойство элемента быть положительным, причём выполнены условия: I. ( К о м м у т а т и в н о с т ь с л о ж е н и я . ) a-\-b=b-\~a. II. ( А с с о ц и а т и в н о с т ь сложения.) а-\-(Ь -\-с) = = (<* + * ) + <:. HI. ( О б р а т и м о с т ь с л о ж е н и я . ) Для любых элементов аиЬ множества D существует элемент с ггз D такой, что а-\-с=Ь. IV. ( К о м м у т а т и в н о с т ь у м н о ж е н и я . ) ab=ba. V. ( А с с о ц и а т и в н о с т ь у м н о ж е н и я . ) a(bc)=(ab)c. VI. ( Д и с т р и б у т и в н о с т ь у м н о ж е н и я относительно сложения.) (a-\-b)c=ab-\-bc. Эти свойства означают, что D есть кольцо. Стало быть, опреде­ лено умножение элементов D на натуральные числа; существует единственный элемент 0 такой, что а-\-0 = 0 -\-а=а для любого а из D; для данного а существует единственный противоположный элемент — а такой, что а-\-( — а) — ( — а)-{-а = 0; для данных а и b существует единственный элемент b — а, называемый их раз­ ностью, такой, что a-\-(b — а) = (Ь — а)-{-а = Ь. Далее: V I I . ( О б р а т и м о с т ь у м н о ж е н и я . ) Для любых элементов а и b множества D, где афО, существует элемент q из D та­ кой, что aq=b.