* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 219 делены (§ 15, теорема 1). Покажем, что выполнены свойства (3), (4), (5). Выполнение свойства (4) непосредственно следует из опре­ деления чисел а и b . Выполнение свойств (3) и (5) докажем индукцией по л. Так как а ^ 7 < ^ Р , то эти свойства выполнены при л = 1 . Пусть они выполнены для числа л, т. е. / ( л ) ^ 7 < С / ( * л ) п+1 n+l я и Ь — а =—угг-. п я Тогда по определению а п+1 и b n+v очевидно, Из (4) вытекает, что если р<^д, то а *^а . Покажем, что \а \ есть фундаментальная последовательность. Так как поле действи­ тельных чисел архимедовски расположено, то для любого числа 1 Б е^>0 существует натуральное число л такое, ч т о - ^ < ^ _ (§ 23, р д п 0 д теорема 5) ~ 5 г ^ < С Тогда, если р^д, и е ( из а ^ р следует афЬ, т. е. Ь — а } > 0 ) . то — п п «г*^ п — л — 2Р при любых р , д ' ^ й о В силу полноты поля действительных чисел последовательность {а \ имеет предел с. Из (5) (снова применяя теорему 5 из § 23) легко находим, что Шп(а — Ь ) = 0, а потому последовательность { Ь } также сходится, причём lim a =\\mb = c [§ 24, теорема 2, а)]. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] то по теореме 1 находим: Н т / ( а ) = = l i m / ( £ „ ) — / ( с ) . Но из (3) получаем: И т / ( а ) ^ у ^ И т / ( * ) [§ 24, теорема 2, д)], или f(c)^y^f(c), f(c) = Y, что и требовалось доказать. Из многочисленных приложений этой теоремы укажем лишь на извлечение корня и определение угла по значению синуса, что бу­ дет использовано в следующей главе. Т е о р е м а 4. Для любого действительного числа а^>0 и любого натурального числа п существует одно и только одно действительное число Ь^>0 такое, что Ь = а. Иными словами, п л п п n n 9 л л п п у/я имеет одно и только одно положительное значение Ь: Если л четно, то этот корень имеет ещё одно и только одно отри­ цательное значение —be той же абсолютной величиной. Если а = 0, то единственное значение корня будет jfa = 0. Еслиа<^0, то при нечётном п существует одно и только одно действитель­ ное значение корня и притом отрицательное, а при чётном п в поле действительных чисел } / " Д о к а з а т е л ь с т в о . Функция на множестве всех действительных отрезке» Пусть а ^>0. Берём число значений не имеет. f(x)=x задана и непрерывна чисел, а следовательно, на любом с = а-\- 1. И з с ^ > 1 ^ > 0 следует n