* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

218 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Непрерывность cos л? доказывается аналогично или проще выво­ дится из соотношения cosJC=sin ^ ~ — jej. Из непрерывности синуса и косинуса по теореме 2 следует непрерывность тангенса и ко­ тангенса во всех точках х, где они определены. Из этих примеров видно, насколько широким является класс непрерывных функций. Для всех таких функций мы докажем сле­ дующее предложение. Т е о р е м а 3. ( Т е о р е м а о п р о м е ж у т о ч н о м з н а ч е н и и . ) Пусть f(x)— функция, заданная и непрерывная на отрезке [а, Ь] (т. е. на множестве действительных чисел х, для которых а^х^Ь, см. конец § 1), Пусть, далее, f(a)=a и f(b) = $. Тогда для лю­ бого числа у, принадлежащего отрезку [а, р] (при а я ^ Р ) или отрезку [Р, а] (при Р = ^ а ) , существует число с отрезка [а, ^та­ кое, что / ( с ) = у. Иными словами, функция, заданная и непрерыв­ ная на некотором отрезке, принимает на этом отрезке все значения, промежуточные по отношению к её значениям в кон­ цах отрезка. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если а = р, то а = у = р, и можно по­ ложить: с=а или с=Ь. Пусть а < ^ р (в случае Р < С доказательство аналогично). Если у = р , то можно положить: с=Ь. Итак, пусть а = ^ у < р . Применим весьма распространённый метод деления от­ резка пополам. Строим две последовательности действительных чисел \ п \ {*л Ь принадлежащие отрезку [а, Ь\ и обладающие свой­ ствами а а и / ( < O ^ T Ь Ь Ь — а = -^гГ п (5) и Ъ для любого натурального числа п. Положим: а *=а, Ь =Ь. Если уже определены числа а х Х п Л отрезка [а, b] то число t а / | ~^ л также принадлежит отрезку [а, Ъ\, и значит, для этого числа функция / определена. Если 2 то положим: а . = ° " ^ /и 1 л я и b n+i = b. Если же то положим: Этими свойствами последовательности [а \ и [Ь \ однозначно опреп л