* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 217 тельным числом х действительное число, равное отношению линии синусов к радиусу круга при известном из тригонометрии согла­ шении о знаках. Также определяются другие тригонометрические функции. Подчёркиваем ещё раз, что трудность принципиального характера при таком определении тригонометрических функций лежит в задаче об измерении дуг окружности, которая разрешима в поле действительнцх чисел благодаря непрерывности поля ) . Отметим, что соответствие между углами и их радианными мерами таково, что сумме углов а — р соответствует сумма — | х-\-у их радианных мер и произведению аа угла а на число а соответ­ ствует произведение ах радианной меры х угла на то же число а. Отсюда можно вывести, что все тригонометрические формулы, дока­ занные для функций углов, остают­ ся верными для функций от радиан­ ных мер этих углов. Для доказательства непрерывно-. сти sin х убедимся, что jsin х | ^ | х \ при любом действительном х. Так / р А как sin ( — х) = — sinAr, то доста­ точно рассмотреть числа д г ^ О , а 1 так как | sin А 1 ^ 1 , то достаточно рассмотреть числа х, для которых 1 0 О^х^-^, Эти углы лежат в пер­ вой четверти. Очевидно, линия сину­ сов MP равна половине хорды MN, р ^ стягивающей дугу MAN=2х (рис. 1). Но все ломаные* вписанные в дугу MAN, длиннее хорды MN. А потому длина 2х дуги MAN как предел последовательности длин вписанных хорд не меньше длины хорды MN. и с Итак, MN^2х,-~-^х, Поэтому | sin х | =^ I х I . Пусть дано т. е. sinx^x. число Но х^О е2>0. и slnjc^O. Ь= -^. действительное формулу Положим: Тогда, применяя sinot — sinp = 2cos —^ и неравенство | cos а | | sinдг—sinjco | = • sin—~0 1, находим, что из | х—х \ 0 следует: | 2 c o s ^ ± * ° • sin - £ l l * L | < 2 | х — л г | < 2 3 = е , чго и доказывает непрерывность sin А . *) В курсах математического анализа даётся другое определение этих функций (с помощью бесконечных рядов), не опирающееся, на измерение дуг и на геометрию вообще.