* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

216 f{x) равна ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА» ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ соответственно Л(*)+/•(•*). Л(*)-/*(•*). Л М - Л ( 4 а j $ для любого числа х из X (в случае частного предполагается, что / (х) ф О для любого х из X). Из теоремы 1 и свойств предела [§ 24, теорема 2, б), в), г)] непосредственно следует Т е о р е м а 2. Сумма, разность и произведение двух функций / и / , непрерывных на множестве X, также непрерывны на мно­ жестве X. Частное функций f и / , непрерывных на множестве X, есть функция, непрерывная на множестве X' тех чисел х из X, для которых / (х) ф 0. Рассмотрим примеры непрерывных функций. П р и м е р 1. Функция f(x)=x для любого целого числа k^0 определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел* В самом деле, при k = 0 функция / ( л ; ) = 1 при любом х и непре­ рывна как любая константа, ибо | f (x)—f(x ) | = 0; очевидно, непрерывна и функция f(x)=x. Применяя теорему 2, легко дока­ зать непрерывность функции x индукцией по А. П р и м е р 2. Из примера 1 и теоремы 3 индукцией пег числу членов получаем непрерывность на множестве всех действительных чисел функции, заданной многочленом f(x) = a -\-a x-\-...-\ax с действительными коэффициентами а , a . . . , а . Отсюда опять по теореме 2 получается непрерывность функции, заданной на мноf( ) жестве X всех чисел х, для которых g(x)ф0 дробью : : , где f(x) и g (х) — многочлены с действительными коэффициентами. Са­ ми эти функции называются многочленами или целыми рациональными функциями и, соответственно, дробными рациональными функциями. П р и м е р 3. Функции sinx и cos л: непрерывны на множестве всех действительных чисел. Функция tgx непрерывна во всех точ­ ках, где она определена, т. е. где COSJUT^O. Функция c t g j ; непре­ рывна во всех точках, где sin х ф 0. Чтобы доказать это, надо дать точное определение указанных функций. Любой угол а как геометрическая фигура определяет дугу круга радиуса 1. Так как поле действительных чисел непрерывно, то в нём существует число х, равное длине данной дуги. Это число х называется радианной ме­ рой угла о. Обратно, для данного числа х можно построить дугу длины х, а для неё — центральный угол СЕ. Тогда угол а будет иметь радианную меру х. Если ввести углы, ббльшие 360°, и отрицатель­ ные углы, как это обычно делается, то можно установить взаимно однозначное соответствие между всеми действительными числами и всеми углами, при котором числу х соответствует угол а с ра­ дианной мерой х. Поэтому обычно под углом и понимают не гео­ метрическую фигуру, а число, равное радианной мере угла. Тогда sin х определяется как функция, сопоставляющая с любым действиг а x 2 я k Q k n 0 t tr 0 l9 п x 9