* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

206 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Д о к а з а т е л ь с т в о . Поле Р изоморфно и с сохранением порядка отображается на расположенное поле Q, содержащее поле рацио­ нальных чисел. Так как Р архимедовски расположено, то то же верно для Q. Для поля Q теорема получается попутно при доказатель­ стве теоремы 2, если заменить там D на Q, так как везде, кроме последнего абзаца доказательства, мы не пользовались полнотой поля D В силу изоморфизма Р и Q теорема 3 верна также для поля Р . Итак, если поле действительных чисел D существует, то только одно (до изоморфизма). Переходим к доказательству его существования. Как и в случае целых и рациональных чисел, достаточно построить одно поле (одну интерпретацию поля), удовлетворяющее определению 1. Существует несколько приёмов построения такого поля. Мы приведём построение Кантора. Конструкция одного из изоморфных полей действительных чи­ сел подсказывается теоремой 1. Если D — искомое поле, то каждый элемент поля D равен пределу фундаментальной последовательности рациональных чисел, и любая такая последовательность должна иметь предел в D в силу непрерывности поля. За исходный элемент построения поля действительных чисел D мы принимаем фундаментальную последовательность рациональных чисел й|, а , а , . . . = { а [ т. е. последовательность, обладающую таким свойством: для любого рационального числа е ^ > 0 существует натуральное число «о такое, что \а — а \<^в при любых р и q ббльших л о ( § 24, определение 4). Пусть М—множество всех таких последовательностей. Определяем отношение эквивалентности, сло­ жение и умножение последовательностей из М так, чтобы им соот­ ветствовали равенство, сложение и умножение элементов искомого поля Д равных пределам этих последовательностей [§ 24, теорема 2, а), б), B)J, а именно, t v 9 3 п в р д f тогда и только тогда, когда Шп(а„ — * „ ) = 0 ; К Ж и = { « , . + Ы ; (2) Надо, конечно, доказать, что (2) и (3) действительно определяют операции во множестве М, т. е. что последовательности в правых частях этих равенств снова являются фундаментальными. В случае сложения берём рациональное число е > 0. Так как { a \ и { Ь \ фундаментальны, то существуют натуральные n п