* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛБ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 203 Т е о р е м а 1. Расположенное поле Р, содержащее поле рацио­ нальных чисел Г ) , архимедовски расположено тогда и только тогда, когда каждый элемент поля Р равен пределу последовав тельности рациональных чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть элемент а поля Р равен пре­ делу последовательности рациональных чисел \а ). Тогда сущест­ вует k такое, что \a — а | < ^ 1 , откуда ! п k а*£\а\ = \(а — a ) + a \*S\a k A k — я |+ Ы < 1 + А К г Так как 1 -)-1 a I — рациональное число и поле рациональных чисел архимедовски расположено, то существует натуральное число п такое, что l - f - | a j " K « . Тогда а<^п, т. е. поле Р архимедовски расположено (§ 10, XV). 6) Пусть поле Р архимедовски расположено. Тогда для любого элемента а из Р и любого натурального числа п существуют нату­ ральные числа т и /и такие, что х а откуда ( — т ) • ^<^а. 2 Следовательно множество сверху А тех целых г чисел /, для которых ограничено 2 числом т и непустр, ибо содержит целое число — / Й - Поэтому множество А содержит наибольшее число т (§ 21, теорема 5). Тогда, очевидно, |Р~^а <^ — В ы ч т я < e n ~ из обеих частей неравенства, найдём: п 0 = ^ a — " ~ C"^" любого е^>0 Положим ^~=а и покажем, что Мта =а. п 0 Для из Р существует натуральное я ^ > * | - , откуда \ п — а\=а— а 0 а я < ^ < ^ < е n при любом л ^ > / г . Это и значит, что l i m a = a в поле Р. Т е о р е м а 2. Все поля действительных чисел изоморфны, /и. е. поле действительных чисел определено однозначно до изоморфизма. Точнее, если D и £) — два поля действительных чисел, то суще­ ствует только одно изоморфное отображение D на D сохра­ няющее отношения порядка. При этом изоморфизме рациональ­ ные числа остаются на месте. В частности, существует только одно изоморфное отображение поля действительных чисел на себя, сохраняющее отношения порядка, а именно тождественное. (В силу теоремы 2 из § 23 данная теорема остаётся справедливой x а x v ) Условие PZ~DT можно здесь и ниже опустить, заменив рациональные числа на рациональные элементы поля (§ 22, теорема 2). 1