* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 197 е]>0 • чисел а п и Ъ . Но из а ^с<^Ь п п 0 п e следует, что для любого и существует п такое, что j Q n ^ < » n n n тогда при п^>п n o 0 будет: e К — с\ = с — a с и при любом n^>n имеем: п п п п t Я 1 t a n>a >c> nt а K ~ c \ = n — п a c ^fi —c n t или же при некотором я будет Ь ^<^с п и при любом я ^ > л п 2 имеем: 0»<*я«*щ<* \а — с\ = с — а >с п — 6 Л2> что противоречит определению предела. Но из а ^ с ^ Ь , как выше мы видели, следует lim a = \\mb = c. То, что число с решает поставленную задачу, будет для извле­ чения корня следовать из более общей теоремы и притом сразу для всех действительных чисел. Здесь мы докажем, что если по­ строенные в начале параграфа для рационального числа а > 0 и на­ турального числа k^> l последовательности рациональных чисел \а ) и \Ь \ имеют рациональный предел с, то c = a. Предположим, что с <^а. Так как \\w\b = c то по теореме 2, в) также Umb = c . Следовательно, существует натуральное число л такое, что | b — c*j я . Но из Ь ^с^.а ^0 следует Поэтому — с * | = й* — с * < а —<* п n n п fc п к k fc n 9 l k 0 n k 0 п п откуда £{[<^а, что противоречит построению числа Ъ . Так же доказывается, что не имеет места неравенство c ^>fl. Таким об­ разом, с = а, с = \Г~а. Если рациональное число а^>0 таково, что не существует ра­ ционального числа с, для которого с = а (см. конец § 23), то по­ следовательности \а ) и \Ь ) построенные для этих а и А, не имеют предела в поле рациональных чисел, хотя являются фундаментальными. В случае отношения отрезков надо доказать, что если построен­ ные для отрезков АВ и MN последовательности рациональных чи­ сел {а } и \Ь ) сходятся к рациональному числу с, то с и будет отношением этих отрезков, т. е. c*AB = MN. Пусть это не так, п fc к к п п 9 п п