* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

196 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ. КОЛЬЦА и поля Если последовательность имеет предел, то её члены, прибли­ жаясь к этому пределу, должны сближаться между собой по мере роста их номеров. Дадим точное определение этого свойства после­ довательности. О п р е д е л е н и е 4. Последовательность {а \ элементов поля Р называется фундаментальной (или последовательностью Коша), если для любого элемента е^>Оиз Р существует натуральное число л (зависящее от е) такое, что\а — а \<^в для любыхр и q, больших л . Т е о р е м а 3. Всякая сходящаяся последовательность элемен­ тов поля Р является фундаментальной. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть \\та = а. Для любого е ^ > 0 из Р п 0 р д 0 п существует натуральное число л 0 0 0 такое, что \ а — в|<С"2 п 0 П Р И л ю " бом л ^ > л . Если тогда р^>п и q^>n , ных величин [§ 10, (3)] найдём: \ р— д\ а а то по свойству абсолют­ = К р — ) ~ ( д—а)\^\*р п а а а — <Н + К — в | < - § - + у = . е т. е. последовательность {а \ — фундаментальная. Эта теорема даёт необходимый признак сходимости после­ довательности: для того чтобы последовательность была схо­ дящейся, необходимо, чтобы она была фундаментальной. Однако это условие не для любого поля Р является достаточным. Так, в поле рациональных чисел, как мы сейчас увидим, существуют фундаментальные последовательности, не имеющие (в этом поле) предела. Вернёмся ещё к задачам об отношении отрезков и извлечении корня. Для каждой из них мы построили две последовательности рациональных (даже десятично-рациональных) чисел а и Ъ со свой­ ствами (1). Легко видеть, что каждая из них будет фундаменталь­ ной. Для любого рационального е существует натуральное л такое, п п 0 что ] о ^ < С (§ 23, теорема 5). Тогда для любых р и q, где, напри­ мер, p^q^>n , 0 е получим: а К " я\ = % — *я<Ь р р — %^Ь д Ч —а По = Г ( ^<е и аналогично этому \Ь — Ь \<^в. Если данная задача имеет решением рациональное число с, то с должно быть пределом обеих последовательностей \а ) и {Ь \. В самом деле, в случае отрезков с • AB = MN<^b * АВ, откуда с < ^ £ - . Также а • AB^MN=c • АВ, откуда а ^с. В случае кор­ ней г* = а, откуда й ^с<^Ь , так как из а ^>с следует a ^>c = a и из b r^c следует b ^ c = a, что противоречит построению п п n п п b fc п п п l k k n