* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 195 при любом л ^ > л . Таким образом, 0 lim (a b ) = ab = lim a • lim b . n n n n г) Сначала докажем, что при условии \\mb натуральное число я 1 П n = b ФО существует х такое, что 1 * | ] > Ц - ' при любом п^>п . n Су­ ществует натуральное число р такое, что \b — Ь К п^>р. ^ при любом Если бы доказываемое утверждение было неверно, то для такое, что \b д числа р нашлось бы число q^>p \ ь \ = \ { ь - ь ч т о д q | 0 из Я такой, что | а „ | < ^ с при любом л. Наконец, из lim а = а и lim b =b следует, что для любого е ] > 0 из Р существуют натуральные числа л и л такие, что п n 2 3 л \а — I < С * ' 2^ Р любом л ^ > л и \Ь — *1<С~^г~ Р любом ] ! > з (ибо для Ъ Ф О всегда 6 = | й | ] > 0 ) . Пусть л — наибольшее из чисел Лр я и л . Тогда а П И П И п 2 п л 2 8 0 2 а (*п_ ь п а | I а Ь—Ь а ьъ п п п п П п I | [а Ь—а Ь ) п п п |— х п п . \а Ь — Ъ а\_ а \\Ь— Ь\ ~Г \hh\ — . A i l \* ! Ь Ь\ ^b\\Ь П n \ а Ъ — а Ъ„ | . ^ \Ь Ь\ ' гЬ* с\Ь\ \ \а — а \ ^ 4с . Т' \h\ ^ L Л |1 . "j * Т \1* [£ |6| 1*1 п п п п п п п п 1 4- (а Ь \Ь Ъ\ — Ъ а) \ 2 при любом л ^ > л - Таким образом, °п ± 0 l i m П Ш b— n lim д b — От b я n д) Пусть a^>b. 2 2 Берем е = ^ - у - ^ ^ > 0 . Существуют е п 0 х натуральные п 2 числа л, и л такие, что \а — а | < С при любом л ] > л , и \Ь — 6 | < ^ е при любом л ] > я . Пусть л — большее из чисел п и л . Если при некотором л ^ > л будет а — Ь ^в то для такого л найдем: 0 п п 9 а — Ь = (а — а ) + (а — Ь)-\-(Ь п п п п — й ) < е + е + е = 3е = а — Ы п 0 что невозможно. Стало быть, а —Ь ^>в при любом я ] > я . Пусть» обратно, а — Ь ^0 при любом я ] > л . Если бы б ы л о а < ^ £ , то по доказанному существовали бы s^>0 и п такие, что Ь — а ^ > е ^ > 0 при любом п^>п . Беря любое п больше как л , так и п получим: а ^Ь и Ь ^>а что невозможно. Следовательно, а^Ь. Теорема доказана. п п 0 х п х 0 и п п п П9 13*