* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

194 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть, например, последовательность \а \ сходится, причем \\та = а. Тогда для любого е ^ > 0 из Р су­ ществуют натуральные числа л , < ^ л такие, что \а — а | < С у ^ п п п и 2 п любом п^>п 1 и \а — * | < С у п п 2 П Р И любом л ^ > л . 2 ЕСЛИ Л — 0 боль­ шее из чисел Л | и л , то = \(Ь -а ) т Таким образом, п п п \Ь -а\ + {а -а)\^\Ь -а \ п п п + \а -а\<:4г^=Е. п lim b = a = lim а . n п Второе утверждение пункта а) следует из пункта б). Пусть теперь последовательности \а \ и \Ь \ сходятся, причём limc = a и limft„=ft. б) Для любого е ^ > 0 существуют натуральные числа п и л т п п n г 2 такие, что \а — 1 < С у Р любом л ^ > л и \Ь — М<Г"5" Р лю­ бом л ] ] > л . Если л — большее из чисел п и л , то при любом л>л будет: п 1 п 2 0 г 2 0 а П И П И \(а ±Ъ )-(а±Ь)\ п п = \(а — п а)±(Ь -Ь)\^ п Таким образом, lim (а ± b )=а п n ± b=lim а ± lim b . п n п в) Сначала покажем, что сходящаяся последовательность \а ] ограничена (см. определение 2). Так как I i m a = a, то существует р такое, что \а — л | < [ 1 при любом л ^ > / ? . Тогда n п \а \ = \(а -а) п п + а\^\а -а\ + п \а\<С1+\а\ t 2 при п^>р. Среди конечной совокупности элементов \a \, |а |,... . . . ,j Op |, 1 —I— I a I поля P существует наибольший элемент a* (§ 5, тео­ рема о). Если положим с = а'-\-1, то 1 } > 0 и | а \<^с для всех л . Далее, берем любой элемент d^>\b\, например d = \b\-{-l. Тогда, очевидно, d^>0. Так как \\та = а и lim b = b, то для лю­ бого е ^ > 0 из Р существуют натуральные числа л , и л такие, что п п n 2 \п — ^ l ^ ^ f 0 а П Р И любом л ^ > Л | и \ Ь 8 п — п р и ab)\^ любом л ^ > л . а Если я — большее из чисел я , и я , то I аА — ab | = | [а Ь — а Ь) - f (а Ь — л а п п ^\a b,-a,fi\-{-\a b-ab\ n n = \a \-\b -b\-[-\a -a\.\b\<: n n n