* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 193 предельного перехода». Разумеется, это уже не алгебраическая опе­ рация в смысле определения 1 из § 6. Возникает вопрос о выполнимости и однозначности операции предельного перехода. Что не всякая последовательность имеет пре­ дел, мы уже видели на примере последовательности 3. Вопрос об единственности предела решается утвердительно. Именно: Т е о р е м а 1. Если последовательность элементов поля Р имеет предел, то только один. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть \\tha = a и Ьфа. Покажем, что Ъ уже не будет пределом нашей последовательности. Наглядное представление говорит, что элементы а , приближаясь к а, отойдут для больших номеров от £. Формально это доказывается так. Так n п как афЪ, то \а—й|]>0 и — ^ - - ^ > 0 . Если также \\w\a =b, n 2 п то J существуют натуральные числа л, и л такие, что \а — а К — при любом Й > Й ! и \а — Ь\<^}-^^-— при любом л > л . Если л — большее из чисел п и л , то при п^>п получим: п 2 0 х й ь | _ * | = K a - a J + (e,-*)|^|a-a.| + |a e < 1 I -*.|< U - * , а + | « - ^ , 4 X 0 = ( a _ H т. е. \а — * | < С 1 — невозможно. Отложив пока вопрос об условиях существования предела, най­ дём некоторые свойства операции предельного перехода в случае её выполнимости. Т е о р е м а 2. а) Если одна из последовательностей \а ) и \Ь \ элементов поля Р сходится и если Mm (а — Ь ) = О, то и другая последовательность сходится, причём \itna =l\mb . Обратно, если обе последовательности сходятся и если \\та = — \imb , то Ш(а — Ь ) = 0. Далее, если последовательности \а \ и \Ь ] из Р сходятся, то б) \im(a ztb ) = \\ma ±mb ; в) lim (а • b„)=Ит а • lim Ь ; п п п п n n п n п п п п n n n n п п п ' b Urn Ь при условии, что lim Ь фО и Ь фО при любом л. Сходимость последовательностей в левых частях равенств б), в), г) не предполагается, а следует из сходимости последователь­ ностей \а \ и {Ь }. д) Ест 1\та *>\\тЬ , то существует элемент е ^ > 0 из Р и натуральное число л такие, что а — Ь ^>е ?ри любом л ^ > л . Если существует натуральное число Пятаков, что а ^Ь при любом л ^ > л , то l i m a ^ l i m f t . n п п п п п Л п 0 п п 0 п п 0 n n 13 Энциклопедия, кн. 1.