* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

192 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ О п р е д е л е н и е 2. Последовательность \а \ элементов поля Р называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если суще­ ствует элемент а тюля Р такой, что а <^а (соответственно а ^>а) для всех п. Она называется ограниченной, если она огра­ ничена и сверху и снизу или (что то же самое) если существует элемент а^>0 поля Р такой, что \а \<^а для всех п. Среди приведенных выше примеров последовательность 4 не ограничена ни сверху, ни снизу, а 2, 3, 5 ограничены. Следующее понятие является одним из основных понятий всей математики. О п р е д е л е н и е 3. Элемент а поля Р называется пределом последовательности {а \ элементов Р, если для любого положи­ тельного элемента в из Р существует (зависящее от е) натураль­ ное число л такое, что )а — в | < ^ е для любого л ] > л . Пишут: д = l l m a («предел а при л, стремящемся к бесконечности») или п п п п п 0 п 0 n п Л-»оо просто а = \\та («предел a » ) . Последовательность {а \, имеющая предел а, называется сходящейся к а или просто сходящейся. Последовательность, не имеющая предела (в Р), называется рас­ ходящейся. Из приведённых выше последовательностей только две сходятся: последовательность 2 к числу 0 и последовательность 5 к числу 2. В самом деле, для последовательности 2 имеем: п n п \а — 0\ = \а \ = а = п п п ~; для последовательности 5 также a „_ | |tlir: 2 = п п Но по аксиоме Архимеда для поля рациональных чисел (§ 23, тео­ рема 3) для любого рационального е^>0 существует натуральное л<£>—. Тогда — <^е для любого л ^ > л . в II Лд Последовательность 3 расходится. Правда, для любого е ^ > 0 и любого л найдётся л ' ^ > л такое, что \a t — 0 | = 0 < е и л".^>л такое, что | а » — 1 | = 0 < е , но для е = ^ 1 не существует такого л , чтобы одно из указанных неравенств выполнялось для любого л ^> щ. В самом деле, если, например, \а — 01 = | а | < ^ е = ^ 1, то а = 0. Следовательно, а = 1 и |а — 01 = 1 ^ е. Понятие предела последовательности сходно с понятием алгеб­ раической операции (§ 6, определение 1). Там упорядоченной паре элементов, а здесь упорядоченной по типу множества натуральных чисел { 1 , 2, 3, . . . } системе элементов соответствует некоторый элемент того же множества. Поэтому иногда говорят об «операции 0 0 0 n 0 п 0 п п п п+1 й + 1