* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ГЛАВА VI
ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 24. Полные и непрерывные поля
Ещё в Древней Греции было известно существование несоизме римых отрезков. Стремление получить для их отношения точное числовое значение должно было бы привести к понятию иррацио нального числа. Однако строгое обоснование этого понятия оказа лось не под силу учёным древности. Стремясь к строгому обосно ванию математических положений, они придавали им геометрическую форму. Примером этой своеобразной геометрической алгебры могут служить «Начала» Евклида. В Средние века индусы пользовались иррациональными выраже ниями, не вдаваясь в вопросы их обоснования. С развитием анализа в XVII и XVIII вв. действительные числа становятся основным объектом исследования. При этом с ними оперировали на ос нове наглядных представлений, изображая числа точками прямой линии. Ко второй половине XIX в. потребность формального построе ния теории действительного числа назрела настолько, что она была построена рядом математиков (Дедекинд, Кантор, Вейерштрасс). Все эти построения, по форме совершенно различные, равноправны в том смысле, что приводят к изоморфным числовым областям. Мы приведём ниже построение Кантора как наиболее тесно связанное с понятием предела, рассмотренным выше. В литературе чаще встре чается построение Дедекинда, с которым читатель может познако миться по книге самого автора [ ] ; прекрасное изложение теории Дедекинда, богатое ценными методологическими указаниями, дано в книге А. Я. Хинчин*а[ ]. Как было показано в конце § 23, отношение отрезков и корень из положительного рационального числа не всегда выражаются ра циональными числами. Мы хотим теперь расширить поле рациональ ных чисел Г до поля действительных чисел D, в котором эти задачи (а также широкий класс других задач) были бы всегда разрешимы.
1 0 и
