* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 187 ков MN и АВ. ЕСЛИ отрезки АВ и MN соизмеримы, то имеется их общая мера CD, содержащаяся р раз в MN и q раз в АВ. Тогда MN: АВ= MN:AB число рациональное. Обратно, если отношение на q частей = £j- — рационально, то делим отрезок АВ (одна из них р раз уложится в MN), следовательно MN и АВ будут соизмеримы. Из геометрии известно, что существуют несо­ измеримые отрезки. Так, диагональ квадрата несоизмерима с его сто­ роной. Приняв стороны квадрата за единицу измерения отрезков, мы не можем выразить длину его диагонали никаким рациональным числом. Рациональных чисел недостаточно также для извлечения корней из положительных рациональных чисел и даже из натуральных чисел. В самом деле, если, например, р — простое число, п — натуральное число, большее единицы, то \Гр не может равняться рациональному числу. Иначе, р = — с натуральными q, г (если для чётного п и взять положительное значение корня). Тогда р = -рг Р г"=д . п (4) Если в разложении числа q на простые множители р встре­ чается а раз, а в разложении числа г встречается Ь раз, то в ле­ вой части равенства ( 4 ) р войдёт множителем па-\-1, а в правой ч а с т и — п Ь раз. Но па-\-\фпЬ, так как второе число делится на п, а первое не делится. Таким образом, в разложении на простые множители левой и правой частей равенства (4) простое число р входит неодинаковое число раз, что противоречит однозначности разложения натурального числа на простые множители ). В следующей главе мы займёмся расширением поля рациональ­ ных чисел до поля действительных чисел, в котором измерение от­ резков и извлечение корня из положительного числа дают точный результат. д ) См. статью А. Я- Хинчина.