* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

186 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ k Так как n ^>0 то для к^О это неравенство выполнено. Для натурального к докажем его индукцией по числу к при данном л. По условию л = л ^ > 1 , т. е. для к = 1 неравенство верно. Если оно верно для числа к, то п ^>к, откуда t 1 к л * = л • л* > пк ^ 2к=k +| - f к S i к - f 1, т. е. неравенство верно и для числа A-J-1. Так как а ] > 0 , то по аксиоме Архимеда найдётся натуральное число А, для которого 1<^ка. П о (3) тогда также 1<^п а. Умножая на л ~ * ] > 0 , найдём tC <^a что и требовалось доказать. Заметим, что ввиду теоремы 2 последние две теоремы остаются верными для любого архимедовски расположенного поля Р с заме­ ной в их формулировках рациональных чисел на соответствующие им элементы (т. е. числа г на элемент re, где е — единица Р ) . Из теорем 4 и 5 вытекает, что для целей приближённых вы­ числений рациональные числа можно заменить л-рациональными при данном л. В частности, можно применять числа, изображаемые конеч­ ными десятичными дробями (л = 1 0 ) , что и делают на практике. В самом деле, мы скажем, что результат вычисления найден при помощи рациональных чисел с точностью до данного рационального числа с ^ > 0 , если найдены два рациональных числа а и Ь (резуль­ таты вычисления по недостатку и по избытку) такие, что а<^Ь, Ь — а<^с и искомый результат вычисления заключён (в определён­ ном смысле для данного вычисления) между а и Ь. Но по теореме 5 существует целое к такое, что к k 9 п к < с - % ~ а ) . Далее, по теореме 4 найдутся целые числа / и m такие, что a = ln ^a