* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 185 всех рациональных чисел, а, например, чисел, выражаемых конеч­ ными десятичными дробями. В самом деле, во всех измерениях и вычислениях прикладного характера достаточно знать результат вы­ числения лишь с некоторой определённой степенью точности. При этом нужной точности можно достигнуть, используя лишь числа указанного рода. Для точного уяснения смысла этого утвержде­ ния введём такое понятие. О п р е д е л е н и е . Пусть дано натуральное число п. Все рацио­ нальные числа вида тп , где т и А — любые целые числа, назы­ ваются п-ично рациональными или п-рациональными. При /г = 2, 3, 10 получим двоично-рациональные, троично-рациональные или десятично-рациональные (т. е. десятичные дроби) числа. При А = 0 найдём, что все целые числа л-рациональны для лю­ бого п. То, что для всех приближённых вычислений рациональные числа можно заменить л-рациональными, вытекает из следующих двух предложений, которые мы докажем не для поля рациональных чи­ сел Г , а в более общем виде, так как в этом виде они нам по­ надобятся в следующей главе. Т е о р е м а 4. Пусть Р—архимедовски расположенное поле, содержащее поле рациональных чисел Г, а — элемент Р и п — на­ туральное число, большее единицы. Тогда для любого целого числа k существует целое число т такое, что к mn ^a<^(m-\- k 1)л*. Д о к а з а т е л ь с т в о . Из л ] > 1 ^ > 0 следует л * ] > 0 . Так как поле Р архимедовски расположено, то существуют натуральные числа 1 и / такие, что l n ^>a и / л * ] > — а, откуда ( — / ) л * < а . Следовательно, множество А целых чисел /, для которых / л * ^ а , содержит — 1 , т. е. непусто, и ограничено сверху, так как из ln *£a<^l n следует / < ^ . Поэтому А содержит наибольшее число т ( § 2 1 , теорема 5). Так как /л принадлежит А и т-{~1^>т уже не принадлежит Л, то по определению множества А имеем: k Х s t 8 8 г k k x тп* *£а<^(т-\-1)п , к что и требовалось доказать. Т е о р е м а 5. Пусть Р—архимедовски расположенное поле, содержащее поле рациональных чисел Г , л — натуральное число, большее единицы. Для любого положительного элемента а поля Р существует натуральное число k такое, что л*>А для любого натурального числа п^>1 -^<^а. (3) и любого целого числа А. Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала докажем неравенство