* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

182 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Легко видеть, что аксиомы IX и X, выполненные для некоторого кольца или поля, остаются справедливыми для любого его подкольца. Поэтому расположение поля Г рациональных чисел порождает неко­ торое расположение содержащегося в нём кольца С целых чисел. Но кольцо целых чисел допускает единственное расположение (§ 21, теорема 3). Поэтому любое расположение (в частности, определён­ ное выше) поля рациональных чисел сохраняет расположение кольца целых чисел, определённое ранее (§ 21). Покажем, что построенное расположение поля рациональных чисел является единственным. Пусть дано какое-то его располо­ жение. Оно сохраняет неизменным расположение целых чисел. Покак жем, что рациональное число я = у тогда и только тогда поло­ жительно, когда целое число kl положительно. В самом деле, если к у ^ > 0 , то, умножая на /*^>0, найдём А / ^ > 0 . Если, обратно, Ы^>0> к к то и у ^ > 0 , * как иначе ^ - ^ 0 , и, умножая на ^ ^ О , найдём — kt^O, что противоречит А / ^ > 0 . Итак, любое расположение поля рациональных чисел совпадает с определённым в начале доказательства. Теорема доказана. З а м е ч а н и е 2. Рациональные числа обладают всеми свойствами элементов любого расположенного поля, приведёнными в § 10. Так, считая а^>Ь если а— Ъ положительно, мы вводим порядок, при котором 0 меньше всех положительных и больше всех отрицатель­ ных чисел (§ 10, теорема 1). Для этого порядка верны законы монотонности и правила оперирования с неравенствами (§ 10, тео­ ремы 2—4). Поле рациональных чисел имеет характеристику 0 (§ 10, теорема 6). Определяя абсолютную величину числа а как неот­ рицательное из чисел + а , получим обычные её свойства, в том числе обычные правила сравнения двух чисел по величине и правила четырёх арифметических действий через действия над абсолютными величинами (§ 10, теорема 8 и следующие за ней замечания). Пусть Р—любое поле характеристики 0 (§ 8, определение 2) we — единица поля Р. Определим произведение ах любого эле­ мента х поля Р на любое рациональное число а. Если а = - у с целыми k I и / ф 0, то и 1е ф 0, и мы положим: т а 9 9 к ке ае = — е=-^-, * ах=(ае)х. ч Для целого а это определение совпадает с данным в § 7, ибо из а = 4* следует al=k и но (5) из § 7 (ае) (le) = (al) е = ke 9