* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

180 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Но тот же символ у п поле Г обозначает частное от деления k на /. Это не ведёт, однако, к противоречию, так как по дока­ занному в конце предыдущего параграфа, если a=f(a) и класс а содержит пару (А, / ) , то действительно а = у , г д е у — частное от деления А на /. Все дроби, составленные из пар одного класса а, обозначают одно и то же рациональное число а = / ( а ) . Таким образом, по определению эквивалентности пар (2) имеем f-т т тогда и только тогда, когда ad=bc. Отсюда, в частности, вытекает основное свойство дроби, т. е. равенство Ь~ be ^ для любого сфО. На этом свойстве основаны, как известно, сокра­ щение дробей и приведение дробей к общему знаменателю. k Заметим, что Простейшим а = у будет целым при условии, что А делится на /. целого числа а дробью будет дробь обозначением у . Для целых чисел мы будем применять наряду с дробями также и прежние обозначения. Так, 1 — ± —JL о —15 —5 3 2 1 ' 3 1 Так как дробь у обозначает рациональное число, равное част­ ному от деления А на / в поле Г, то для действий сложения, вычитания, умножения и деления над числами, обозначенными дробями, вер­ ны правила (1), б), в), г) § 22, т. е. обычные правила оперирования с дробями. Рациональные числа, не являющиеся целыми, будем называть дробными (таким образом, мы будем различать термины «дробь» и «дробное число»). Итак, целые и дробные числа вместе соста­ вляют все рациональные числа* З а м е ч а н и е 1. Для рациональных чисел как элементов поля Г верны все теоремы, доказанные для любых колец и полей в §§ 7, 8. Так, верны правила знаков при умножении [§ 7, (3)]; существует единица, причём она равна числу 1, соответствующему единичному классу поля Г при изоморфном отображении / (ибо этот класс состоит из пар вида (с, с ) = ( с » 1 , с), где сф0)\ любое число — — — — — 0 уфО имеет обратное, причём это будет число отсутствуют де­ лители нуля (§ 8, теорема 1) и т. д .