* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

176 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТПА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и прежде (§ 20, теорема 5), доста­ точно доказать, что для любой пары (с, d) будет: iv и ( a „ b )(c, x a + d ) ~ ( « 2 . h)-\-(c, d)~(a» & )(c, tf). 2 d) По условию эквивалентности (2) имеем: Умножим обе части на d. Найдём: Прибавим к обеим частям b cb . Получим: x % a b^d -f- b cb = a b d -f- b cb^. x t 2 % x x Умножим обе части снова на d и вынесем общие множители за скобки. Будем иметь: (a d -f- b c) b d = (a tf-|- ^s ) bid, t x 2 2 c откуда (a d-\-b c, x x b d)r^(a^d-\'b^c l х f & rf). 2 х Умножим обе части равенства а Ь^ = аф (а с) (b d)=(а с) х 2 2 x на cd. Найдём: (b d), откуда (а с, b d) *~^> (а$с, b%d). х x Итак, определение 2 действительно вводит во множестве Г„ классов эквивалентных пар однозначно определённые операции сло­ жения и умножения. Т е о р е м а 6. Множество Г с операциями, указанными в опре­ делении 2, является полем. Д о к а з а т е л ь с т в о . Нужно проверить выполнение в Г аксиом I — V I (§ 7, определение 1) и V I I , VIII (§ 8, определение 1). Так как операции в Г определены для классов через их представителей, то выполнение аксиом I , I I , IV, V и V I следует из теоремы 4. Так как, очевидно, множество Г содержит более одного элемента, то выполнена аксиома VIII. Выполнение аксиомы III следует из того, что если класс а содержит пару (а, Ь), класс р — пару (с, d) то из 0 0 0 0 f (a, b)+(bc—ad, bd)=(abd-{-b*c — abd, b*d)~(c, d) следует, что класс у, содержащий пару (be — ad, bd), удовлетворяет условию a - j - y = p . Итак, уже доказано, что Г является кольцом. Выясним, какой смысл имеют в этом кольце нуль и противоположный элемент. Все ф