* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГЛАВА V ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 22. Определение поля рациональных чисел В настоящей главе будут построены рациональные числа, поло­ жительные, отрицательные и число нуль. Дробные числа появились в глубокой древности задолго до отрицательных чисел. Их возник­ новение связано с задачами измерения. В случае, когда единица из­ мерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине, естественно возникало понятие о дробном числе. Заметим, что при­ нятый нами порядок изложения отличается от школьного тем, что мы сначала определяем целые отрицательные числа, а затем все рациональные числа, тогда как в школе отрицательные числа появ­ ляются уже после дробных. Такое построение нами принято с целью получить возможно раньше числовую область (целых чисел), кото­ рая является кольцом, с тем, чтобы далее применять общую теорию, построенную в главе I I . Укажем, однако, на то, что без каких-либо существенных изменений в рассуждениях можно было бы переста­ вить местами построения «относительных» чисел из § 20 и рациональ­ ных чисел из данного параграфа. Тем самым будет сохранён обыч­ ный для школы порядок изложения. Расширение множества целых чисел до множества чисел рацио­ нальных производится по общему плану, указанному в § 18 для любого расширения, и рассуждения при этом аналогичны проведён­ ным в § 20 при расширении натуральных чисел до целых. Всё от­ личие состоит в том, что тогда речь шла о свойствах сложения, а теперь — о свойствах умножения. Во множестве целых чисел не всегда выполнима операция, об­ ратная умножению, т. е. деление, даже при условии, что делитель отличен от нуля. Поставим задачу расширить кольцо С целых чисел до такого множества Г, где были бы заданы операции сложения и умножения, обладающие теми же свойствами, какими они обладали для целых чисел, причём деление на элементы множества, отличные о г нуля кольца С, было бы всегда возможно. Это означает, что множество Г должно быть полем (§ 8, определение 1). Будем