* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 171 большее число *. Тогда число а = — b будет наименьшим в А. Наконец, если А ограничено, то оно ограничено и сверху, и снизу, и по доказанному содержит как наибольшее, так и наименьшее число. На этой теореме основаны различные формы односторонней или двусторонней индукции. Например: Т е о р е м а 6. Если некоторая теорема Т, касающаяся целого числа, верна для целого числа а и а) если из того, что теорема Т верна для числа х=а, сле­ дует, что она верна для числа х-\-\, то она верна для любого числа Ь^а; б) если из того, что теорема Т верна для числа х ^ а , сле­ дует, что она верна для числа х—1, то она верна для любого числа Ь^а; в) если из того, что теорема Т верна для любого числа х, удовлетворяющего неравенству х & Xi*^a*^x , сле­ дует, что она верна для чисел х и х%, то она верна для любого целого числа Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о . Все подобные утверждения доказываются одинаково. Докажем, например, утверждение в). Если теорема Т верна не для всех целых чисел, то существует целое число Ь, для которого она неверна. Пусть Ь^>а (в случае Ь<^а рассуждение аналогично) и пусть А есть множество тех целых чисел х^>А, для которых Т неверна. Множество А ограничено снизу числом а и непусто, ибо содержит число &. По предыдущей теореме это множество содержит наименьшее число лг . Если положим лг, равно а — 1, то теорема Т верна для любого числа х такого, что х <^х<£ Хъ, причём х <^а<^х^. Следовательно, теорема Т верна и для чисел х и дг . Но число JC принадлежит множеству А, т. е. для лг теорема Т неверна. Полученное противоречие доказывает утверждение в). Т е о р е м а 7. Кольцо целых чисел архимедовски расположено (§ 10, определение 3). Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а и b — целые числа и £ ^ > 0 . Если а^О, то 1 • b=b^>a* Если с > 0 , то с и Ъ — натуральные числа и для них аксиома Архимеда выполнена (§ 14, теорема 6). Поэтому существует натуральное число л такое, что nb^>a. На свойствах делимости целых чисел мы останавливаться не будем, так как они рассматриваются в статье А. Я' Хинчина* x г е х 2 х а 1 ш 1 х 2 2 а