* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
167
в
Покажем, что N и N изоморфны относительно определённых них сложения и умножения, т. е. покажем справедливость
t / ( а ) + / ( Р ) = / ( а + Р )
равенств
,
/ )/(Р) =/(«?).
( а
(5)
В самом деле, если а содержит пару (a-[-k, а) и Р — пару (* + /, Ь), то а + Р содержит пару (a-\-b-\-k-\-l, a-\~b), и, следо вательно, / ( a + p) = ft + / = / ( a ) + / ( P ) . Далее, ар содержит («+*. аУ(Ь + 1, Ь) = =(ab\-kb\-al-\-kl-\-ab, где c = 2ab -\-al-\-bk. ab-{-kb + ab-\-at)=(c-{-kl, с),
Следовательно,
/(«?)=*'=/(«)/(?).
Построим теперь искомое кольцо целых чисел С. Рассуждения будут аналогичными с доказательством соответствующей теоремы о кольцах (§ 9, теорема 2). Пусть С — множество, полученное из кольца С путём замены всех классов первого рода натуральными числами, соответствующими этим классам при отображении / • Если дополним определение отображения / , полагая / ( a ) = a для любого класса а второго рода и для а = 0, то получим взаимно однозначное отображение С на С. Определим сложение и умножение во множе стве С следующими равенствами:
0 0
/ ( « ) + / ( 9 ) = / ( « + Р). Д « ) / ( Р ) = / ( « ? ) •
0 0
(б')
Здесь ос и р — любые классы кольца С . Так как / — в з а и м н о одно значное отображение С на С, то / ( а ) и / ( Р ) — л ю б ы е элементы С. Далее, сумма o-f- Р и произведение аР определены в С однозначно, и равенства (5') действительно определяют операции сложения и умножения для любых элементов множества С. Итак, С—множество с двумя операциями. Одновременно равен ства (5') показывают, что множество С с так определёнными операци ями изоморфно кольцу С и само является кольцом (§ 9, теорема 1). Т е о р е м а 7. Кольцо С, построенное выше, есть кольцо целых чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о . Надо доказать, что С обладает свойствами 1) — 4), указанными в определении 1 в начале эгого параграфа. Мы уже знаем, что 1) С содержит множество N натуральных чисел и 2) С есть кольцо. Если А = / ( а ) и / = / ( Р ) — натуральные числа, то а и р — клас сы первого рода. Тогда равенства (б'), определяющие в кольце С сумму k-\-l и произведение kl, совпадают соответственно с равен ствами (5), где сложение и умножение в левых частях являются операциями, определёнными для натуральных чисел в § § 12, 13. Итак;
0 0
