* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

160 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля Обратно, для любого разбиения множества М на непересека­ ющиеся подмножества можно так определить отношения экви­ валентности, что данное разбиение М будет разбиением на классы эквивалентных элементов. Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть дано отношение эквивалентности. Для каждого а£М обозначим через М множество всех элементов х, для которых х~а. Из 1) следует, что а^М , т. е. любой элемент множества М принадлежит некоторому из этих подмно­ жеств. Пусть bdM и с^ЛТд. Тогда Ьг^>а, с а ; по 2) также а ~ с и по 3) j ^ c . Следовательно, два элемента из М эквивалентны. Если аг^Ь, то М = М . В самом деле, если с£М то сr^a, а~Ъ и по 3) с^Ь, т. е. с 6 М . Если же с£М то сг^Ь и а~Ь; по 2) Ьг^а и по 3) сг^а т. е. с£М . Отсюда также имеем: если ЫМ то М — М , т. е. все элементы множества М равноправны при определении этого множества. Если множества М и М имеют общий элемент с, то М = М М = М , откуда М = М . Таким образом, два различных множества не могут иметь общих или эквивалентных элементов. Элементы различных множеств неэкви­ валентны. б) Пусть дано разбиение множества М на непересекающиеся мно­ жества. Определим отношение эквивалентности элементов М так: а^Ь, если а и Ь принадлежат одному и тому же множеству дан­ ного разбиения. Очевидно, что тогда разбиение на классы эквива­ лентных элементов и будет данным разбиением. Доказанная теорема найдёт в будущем неоднократное примене­ ние, позволяя опускать приведённое рассуждение в каждом кон­ кретном случае. а а a а а ь а9 ь Ь9 9 а а9 ь а а а ь с а9 С Ь а ъ § 20. Определение кольца целых чисел Для натуральных чисел не всегда выполнима операция, обратная сложению, т. е. вычитание (§ 16, теорема 1). Поставим задачу расширить множество N натуральных чисел до такого множества С, где были бы заданы операции сложения и умножения, обладающие теми же свойствами, какими они обладают для натуральных чисел, причём вычитание было бы всегда возможно. Это значит, что С должно быть кольцом (§ 7, определение 1). Будем искать мини­ мальное из таких расширений в смысле следующего определения: О п р е д е л е н и е 1. Кольцом целых чисел называется мини­ мальное кольцо С, содержащее множество N всех натуральных чисел, т. е. множество, обладающее свойствами: 1 ) С содержит N; 2) С есть кольцо; 3) сложение и умножение натуральных чисел совпадают с одноимёнными операциями над этимичисламивкольце Q 4) кольцо С не содержит отличного от него подкольца, содержа¬ щего множество N. Элементы кольца С называются целыми числами. У