* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 159 полнимой в В некоторую операцию, не всегда выполнимую в Л, мы можем ввести формально в В те же правила оперирования, ко­ торые для данной операции имели место в А в тех случаях, когда она была там выполнима. Это формальное перенесение старых правил на новое множество и приводит к конструкции желаемого расширения. Так, разность а — Ь для натуральных чисел вполне определяется парой чисел а, Ь. Такую пару мы и примем за исходный пункт определения целого числа, сохраняя правила оперирования, справедливые для разностей а — Ъ натуральных чисел. Та же идея лежит в основе конструкции рацио­ нальных и комплексных чисел, а также алгебраических дробей. Эта конструктивная идея носит название теории пар. Заметим, что во всех указанных случаях конструкция приводит не сразу к желае­ мому расширению В для области Л, а лишь к области В\ изоморф­ ной области В и содержащей подмножество Л', изоморфное Л . Искомое расширение В получится из В' заменой в нём Л' на Л . Но до проведения такого построения целых чисел необходимо сделать некоторые замечания, связанные с основными свойствами равенства. § 19. Эквивалентность и разбиение на классы Равенство а = Ь элементов некоторого множества мы всегда понимаем как отношение между элементами, заключающееся в их совпадении или тождестве Отсюда по чисто логическим основаниям вытекают следующие основные свойства равенства: в) а = а (рефлексивность или закон тождества); б) если а = Ь, то Ь = а (симметрия); в) если c = i и Ь = с, то а = с (транзитивность). Но теми же свойствами обладают, как мы видели, и другие отношения, именно: равномощность Л ~ 5 ( § 3), подобие А&&В (§ 5), изоморфизм А^В (§ 9 ) . Для всех таких отношений мы докажем следующую общую теорему. Т е о р е м а . Если для элементов множества М определено отношение эквивалентности а*-^Ъ (словами: а эквивалентно Ь), обладающее следующими свойствами: 1) а^а, 2) если а~Ь, то Ьг^а, 3) если а~Ь и Ь~с, то а~с, то этим однозначно определено разбиение множества М на попарно непересекающиеся подмножества, обладающие тем свойством, что любые элементы одного и того же подмножества эквивалентны и любые элементы различных подмножеств неэквивалентны (разбиение на классы эквивалентных элементов). ' ) Многие авторы считают равенство некоторым понятием, подлежащим определению или аксиоматическому описанию.