* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

158 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ причём их смысл для элементов А, рассматриваемых уже как эле­ менты В, должен совпадать с тем, какой они имели в Л до рас­ ширения. 3) В В должна быть выполнима операция, которая в А была невыполнима или не всегда выполнима. Это требование служит основной целью, для достижения кото­ рой строится расширение. Разберём его на примерах. Для натураль­ ных чисел не всегда выполнимо вычитание. В области целых чисел оно всегда выполнимо. Для целых чисел не всегда выполнимо деле­ ние. Для рациональных чисел оно выполнимо всегда (кроме деления на 0, что вообще невозможно). Для рациональных чисел не всегда выполнима операция перехода к пределу. Для действительных чисел она всегда выполнима. Для действительных чисел не всегда выпол­ нима операция извлечения корня. Для комплексных чисел она уже всегда выполнима. Наконец, требования логической завершённости диктуют ещё одно условие: 4) Расширение В должно быть минимальным из всех расшире­ ний данного А, обладающих свойствами 1) — 3), и определяться данным А однозначно с точностью до изоморфизма. Так, мы расширяем множество натуральных чисел до целых, а не сразу до действительных или комплексных. Целые числа подразделяются на положительные (или натураль­ ные), отрицательные и число 0. Идея отрицательного числа (всё равно целого, рационального или вообще действительного) связана с измерением величины, имеющей два противоположных смысла. Таковы, например, длины отрезков, откладываемых на прямой направо или налево от данной точки, показания термометра вверх и вниз от точки 0 и т. д. Тогда уславливаются величины одного смысла или направления измерять при помощи обычных чисел, назы­ ваемых теперь положительными, а величины другого, противополож­ ного смысла теми же числами, но снабжёнными особым знаком «—» для отличия их от чисел, служащих для выражения величин первого смысла. Затем формально вводится число 0, отделяющее положи­ тельные числа от отрицательных. Не останавливаясь на деталях такого введения «относительных» чисел, заметим, что это построение наиболее естественно, так как связано с их возникновением и может быть проведено строго формально. Так, для построения целых «относительных» чисел можно формально натуральным числам а, Ь ... поставить во взаимно однозначное соответствие новые объекты с, Ь, . . . и ввести ещё один объект 0. Затем определить сумму, произведение и отношение «больше» по известным школь­ ным правилам и доказать (путём проверки всех случаев) справед­ ливость всех законов действий и порядка. 9 Руководствуясь, однако, единством идеи, мы примем другое построение. Дело в том, что, желая при расширении сделать вы-