* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

156 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Так как всякий элемент следует за другим, то 1 не выполнено. I I , I I I , I V выполнены. Если М ф 0 и, например, Ь 6 М, то по 2) также' Ь' = с(М и с' = а £ л 4 , M=N. 2. Н е з а в и с и м о с т ь а к с и о м ы I I . Пусть N—множество двух элементов а и Ь, причём d=b. Тогда а будет единицей. Аксиома I I не выполнена, так как Ь не имеет следующего эле­ мента. Прочие аксиомы выполнены. 3. Н е з а в и с и м о с т ь а к с и о м ы I I I . Пусть N—множество четырёх элементов а, 6, с, d причём f d' Аксиома I I I не выполнена, так как Ь следует за а и rf, из a' = d' не следует a = d. Остальные аксиомы выполнены, причём а играет роль единицы. 4. Н е з а в и с и м о с т ь а к с и о м ы I V (или также IV). Пусть N—множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, . . . » я , . . . и всех t f а' = b 6' = с, с' = d чисел вида п ^ с любым целым л, причём для натуральных чисел отношение «следует» имеет прежний смысл и Аксиома I V не выполнена. В самом деле, роль единицы играет само число 1 (только оно не следует ни за каким другим). Множе­ ство М всех натуральных чисел обладает сзойствами А') и Б) [или А) и Б) при аксиоме I V ] , но не содержит всех элементов множе­ ства N. Таким образом, система аксиом I — I I I , IV натуральных чисел не­ зависима.