* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 155 Таким образом, система аксиом I — IV натуральных чисел полна. 0 значении этого факта уже говорилось в § П . Только благодаря полноте системы аксиом I — I V мы можем с равным успехом поль­ зоваться любой интерпретацией натуральных чисел (применяются ли римские или арабские цифры, десятичная или двоичная система счисления). Независимость. Более простым и имеющим скорее практическое, чем принципиальное значение, является вопрос о независимости аксиом. При выборе той или иной системы аксиом для данной тео­ рии желательно достичь минимального числа положений, принимае­ мых за аксиомы. Если, например, одна из аксиом в действитель­ ности является теоремой, т. е. её можно доказать с помощью остальных аксиом, то нет надобности сохранять её в списке аксиом. О п р е д е л е н и е 3. Система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом не является следствием остальных. Доказательство независимости системы аксиом проводится так. Для каждой аксиомы строится интерпретация, где выполнены все остальные аксиомы, тогда как данная аксиома не выполняется. Если бы эта аксиома была следствием остальных, то такая интер­ претация была бы, очевидно, невозможна. Докажем независимость системы аксиом I — IV натурального ряда. Заметим, что доказательство независимости аксиомы I имеет ту особенность, что если аксиома I не выполнена, то аксиома IV становится бессодержательной, так как множеств М, содержащих единицу, вообще не существует, ибо не существует числа единицы. Поэтому для доказательства независимости аксиомы I от остальных аксиом мы несколько видоизменим формулировку аксиомы IV, заме­ нив её следующей: I V . Любое непустое множество М натуральных чисел, обла­ дающее свойствами: А ) если существует число 1, не следующее ни за каким другим числом, то оно принадлежит М; Б) если число а принадлежит М, то и следующее число а принадлежит М — содержит все натуральные числа. Очевидно, что система аксиом I — I I I , IV эквивалентна системе 1 — III, I V , т. е. из первой системы следуют аксиомы второй, и обратно (достаточно убедиться, что из I — HI, IV следует I V и из I — III, I V следует IV). Если одна из эквивалентных систем непротиво­ речива или полна, то то же верно и для другой. Итак, система аксиом I — III, I V также непротиворечива и полна. Докажем её независимость. 1. Н е з а в и с и м о с т ь а к с и о м ы I . Пусть N—множество трёх элементов а, Ъ, с с таким определением отношения «следует»') 1 а'=6, 1 Ь'=с, с'=а. У Можно взять любое конечное множество с числом элементов ^ 2 , расположенных в круговом порядке.